Exercícios Resolvidos de Equações trigonométricas

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Enunciado

19. Sobre a equação

cos 2 ⁡ 2 x + cos 2 ⁡ 5 x = 1 ,

Pode-se afirmar que:

  1. não possui solução em 0 , π 4 ;
  2. possui única solução em 0 , π 4     ;
  3. possui duas soluções em 0 , π 4     ;
  4. possui três soluções em 0 , π 4     ;
  5. possui quatro soluções em 0 , π 4   .

Passo 1

Fala aí pessoal! Olha, esse problema no fundo quer que a gente resolva aquela equação

cos 2 ⁡ 2 x + cos 2 ⁡ 5 x = 1

A maneira que a gente faz é manipulando essas equações usando algumas identidades trigonométricas até achar alguma equação bem mais simples e que a gente possa extrair alguma solução. Então vamos lá!!

Passo 2

Vamos começar tirando esses cossenos ao quadrado a partir dessa identidade aqui:

cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

Então nós temos:

cos 2 ⁡ 2 x + cos 2 ⁡ 5 x = 1

1 + cos ⁡ 4 x 2 +   1 + cos ⁡ 10 x 2 = 1

Manipulando um pouco a gente reduz essa equação para

cos ⁡ 4 x + cos ⁡ 10 x = 0

Beleza, bem melhor mas e agora??

Passo 3

Da forma que está a gente ainda não consegue fazer muita coisa. Vamos tentar escrever esses cossenos em função de termos iguais... como assim? Olha 4 x = 7 x - 3 x , certo? Mas a gente também pode escrever 10 x = 7 x + 3 x ... hummm, então temos

cos ⁡ ( 7 x - 3 x ) + cos ⁡ ( 7 x + 3 x ) = 0

Que é a mesma coisa né? Só que agora podemos usar as identidades:

cos ⁡ a ± b = cos ⁡ a cos ⁡ b ∓ s e n   a   s e n   b então a nossa equação fica:

cos ⁡ 7 x cos ⁡ 3 x + sin ⁡ 7 x sin ⁡ 3 x + cos ⁡ 7 x cos ⁡ 3 x - sin ⁡ 7 x sin ⁡ 3 x = 0 2     cos ⁡ 7 x cos ⁡ 3 x = 0 cos ⁡ 7 x cos ⁡ 3 x = 0 😊

Passo 4

A nossa equação se reduziu a

cos ⁡ 7 x cos ⁡ 3 x = 0

Ou seja, temos duas possibilidades:

cos ⁡ 7 x = 0

cos ⁡ 3 x   = 0

Antes da gente resolver, presta atenção que nas alternativas a gente só tem o intervalo 0 , π 4 então na hora de procurar as soluções a gente não precisa ver todas as possíveis soluções, só as que aparecem no intervalo, beleza?Então vamos lá, a primeira equação nos dá que

7 x = π 2 + n π

Para qualquer n inteiro. Então temos: x = π 14 + n π 7

x = 1 + 2 n π 14

Daí a gente vê que só existem 2 valores de n (0 e 1) dentro do intervalo. Então, para esse primeiro caso já temos duas soluções naquele intervalo.

Passo 5

A segunda equação nos dá que

3 x = π 2 + n π

Para qualquer n inteiro. Então temos: x = π 6 + n π 3

x = 1 + 2 n π 6

Daí a gente vê que só n = 0 que nos dá uma solução naquele intervalo dado. Dessa forma, no total, temos 3 soluções para essa equação no intervalo 0 , π 4 !

E resolvemos esse problema 😊 Vamos para a próxima?

Resposta

Letra d.

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