UFSC – Pré-Cálculo – Exame de Proficiência 2017.1
19. Sobre a equação
Pode-se afirmar que:
- não possui solução em ;
- possui única solução em
- possui duas soluções em
- possui três soluções em
- possui quatro soluções em
Passo 1
Fala aí pessoal! Olha, esse problema no fundo quer que a gente resolva aquela equação
A maneira que a gente faz é manipulando essas equações usando algumas identidades trigonométricas até achar alguma equação bem mais simples e que a gente possa extrair alguma solução. Então vamos lá!!
Passo 2
Vamos começar tirando esses cossenos ao quadrado a partir dessa identidade aqui:
Então nós temos:
Manipulando um pouco a gente reduz essa equação para
Beleza, bem melhor mas e agora??
Passo 3
Da forma que está a gente ainda não consegue fazer muita coisa. Vamos tentar escrever esses cossenos em função de termos iguais... como assim? Olha , certo? Mas a gente também pode escrever ... hummm, então temos
Que é a mesma coisa né? Só que agora podemos usar as identidades:
então a nossa equação fica:
😊
Passo 4
A nossa equação se reduziu a
Ou seja, temos duas possibilidades:
Antes da gente resolver, presta atenção que nas alternativas a gente só tem o intervalo então na hora de procurar as soluções a gente não precisa ver todas as possíveis soluções, só as que aparecem no intervalo, beleza?Então vamos lá, a primeira equação nos dá que
Para qualquer inteiro. Então temos:
Daí a gente vê que só existem 2 valores de n (0 e 1) dentro do intervalo. Então, para esse primeiro caso já temos duas soluções naquele intervalo.
Passo 5
A segunda equação nos dá que
Para qualquer inteiro. Então temos:
Daí a gente vê que só que nos dá uma solução naquele intervalo dado. Dessa forma, no total, temos 3 soluções para essa equação no intervalo !
E resolvemos esse problema 😊 Vamos para a próxima?
Resposta
Letra d.