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Exercícios Resolvidos de Equações trigonométricas

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Enunciado

UFSC, Sem Campus, Pré-Cálculo, Listas Pré Cálculo - Lista 14, Questão 26

Resolva as equações

  1. ( t g 2 x   −   3 ) ( 2   c o s   x   +   1 )   =   0 ;
  2. 3   s e n 2 x   −   7   s e n   x   +   2   =   0 ;
  3. 2 c o s 2 x   +   s e n   x   =   1 ;
  4. t g 2 x   −   2   s e c   x   =   2 ;
  5. 2   c o s ( 3 x )   =   1 ;
  6. t g ( x / 4 )   +   √ 3   =   0 ;
  7. 3   c o s (   3 x   − 3 π / 2 ) = 3 / 2 ;
  8. s e n ( 2 x )   +   c o s   x   =   0 ;
  9. s e n   x   +   s e n ( 3 x )   =   0

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de pré-cálculo . Nosso objetivo é

solucionar as equações. Vamos começar pela letra a )

( t g 2 x   −   3 ) ( 2   c o s   x   +   1 )   =   0 ;

Essa parece complicada, mas só precisamos lembrar que se um produto é zero, então ,pelo menos, uma de suas parcelas é zero. Dessa forma temos:

( t g 2 x   −   3 ) = 0

ou

( 2   c o s   x   +   1 ) = 0  

Resolvendo a primeira condição

( t g 2 x   −   3 ) = 0

⇒ t g   x   =   3

Que é um arco conhecido, o arco que tem a tangente de 3 é o de π / 3

Agora a segunda condição.

( 2   c o s   x   +   1 ) = 0  

⇒ c o s   x   =   - 1 / 2

aplicando o arco-coseno. Obtemos

  x   =   a r c c o s ( - 1 / 2 )

Que é um arco conhecido, o arco que tem o cosseno de - 1 / 2 é o de 2 π / 3

Passo 2

Vamos para a letra b )

3   s e n 2 x   −   7   s e n   x   +   2   =   0 ;

aqui temos uma equação do segundo grau. Vamos chamar s i n   x   =   u . Então temos

3 u 2 - 7 u + 2 = 0

Que é uma equação do segundo grau, cujas raízes são:

1 / 3   e   2

Agora, nós queremos x , mas temos que

s i n   x   =   u

Então

s i n   x   =   1 / 3

Logo, usando a função arco-seno temos que:

x =   a r c s e n ( 1 / 3 )

A outra solução é descartada pois o seno não pode ser maior que 1 .

Passo 3

Letra c )

2 c o s 2 x   +   s e n   x   =   1 ;

vamos usar a identidade c o s 2 x = 1 - s i n 2 x

substituindo, temos:

2 ( 1 - s i n 2 x )   +   s e n   x   =   1 ;

aqui temos uma equação do segundo grau. Vamos chamar s i n   x   =   u . Então temos

2 ( 1 - u 2 )   +   u   =   1 ;

⇒ - 2 u 2 + u + 1 = 0

Que é uma equação do segundo grau, cujas raízes são:

- 1 / 2   e   1

Agora, nós queremos x , mas temos que

s i n   x   =   u

Então

s i n   x   =   - 1 / 2

Logo, usando a função arco-seno temos que:

x =   a r c s e n ( - 1 / 2 )

A outra solução é

s i n   x   =   1

Logo, usando a função arco-seno temos que:

x =   a r c s e n ( 1 )

Passo 4

Por último, a letra d )

t g 2 x   −   2   s e c   x   =   2 ;

vamos usar a identidade t g 2 x = s e c 2 x - 1

substituindo, temos:

s e c 2 x - 1   −   2   s e c   x   =   2 ;

aqui temos uma equação do segundo grau. Vamos chamar s e c   x   =   u . Então temos

u 2 - 2 u   - 3 =   0 ;

Que é uma equação do segundo grau, cujas raízes são:

3   e   - 1

Agora, nós queremos x , mas temos que

s e c   x   =   u

Então

s e c   x   =   3

Logo, usando a função arco-cosseno temos que:

s e c   x   =   3

⇒ c o s   x   = 1 / 3

⇒ x =   a r c c o s ( 1 / 3 )

A outra solução é

s e c   x   =   - 1

Logo, usando a função arco-cosseno temos que:

s e c   x   =   - 1

⇒ c o s   x   = - 1

⇒ x =   a r c c o s ( - 1 )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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