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Exercícios Resolvidos de Equações trigonométricas

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Enunciado

UTFPR, Pato Branco, Cálculo Diferencial e Integral 1, AVs - Pré-Cálculo - AV2 - 2023.1

Mostre que

Passo 1

Mostre que

1 + sin ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x = 1 + cotan ⁡ x cotan ⁡ x - 1

Passo 2

Beleza meu amigo?! Espero que sim, pois agora teremos que realizar a querida prova com algumas manipulações, então é importante estar super ligado.

Vamos primeiro abrir um pouco a nossa preposição da direita,

1 + cotan ⁡ x cotan ⁡ x - 1 = 1 + cos ⁡ x sin ⁡ x cos ⁡ x sin ⁡ x - 1

Continuando nossas manipulações,

= sin ⁡ x + cos ⁡ x sin ⁡ x cos ⁡ x - sin ⁡ x sin ⁡ x

Realizando essa divisão,

= sin ⁡ x + cos ⁡ x sin ⁡ x ∙ sin ⁡ x cos ⁡ x - sin ⁡ x

Temos agora,

= cos ⁡ x + sin ⁡ x cos ⁡ x - sin ⁡ x

Vamos multiplicar agora ambos os termos por cos ⁡ x + sin ⁡ x ,

= ( cos ⁡ x + sin ⁡ x ) ( cos ⁡ x + sin ⁡ x ) ( cos ⁡ x - sin ⁡ x ) ( cos ⁡ x + sin ⁡ x )

= ( cos 2 ⁡ x + 2 sin ⁡ x cos ⁡ x + sin 2 ⁡ x ) ( cos 2 ⁡ x - sin 2 ⁡ x )

Sabemos previamente que,

sin ⁡ 2 α = 2 sin ⁡ α cos ⁡ α

cos ⁡ 2 α = cos 2 ⁡ α - sin 2 ⁡ α

Sendo assim,

= ( 1 + sin ⁡ 2 x ) ( cos ⁡ 2 x )

Então aqui terminamos nossa prova, um forte abraço e espero que tenha aprendido um pouco mais hoje.

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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