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Exercícios Resolvidos de Equações trigonométricas

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Enunciado

UFSC, Sem Campus, Pré-Cálculo, Listas Pré Cálculo - Lista 14, Questão 30

Dois diapasões idênticos são colocados para vibrar, um deles uma fração de tempo após o outro. Os

sons produzidos por eles podem ser modelados por:

  f 1 ( t )   =   C   s e n ( ω t )   e   f 2 ( t )   =   C   s e n ( ω t   +   α )

As duas ondas sofrem interferência uma da outra dando origem a uma única onda descrita por

f ( t )   =   f 1 ( t )   +   f 2 ( t )   =   C   s e n ( ω t )   +   C   s e n ( ω t   +   α ) .

  1. Utilize a fórmula para o seno da soma de arcos e mostre que f ( t ) pode ser escrita na forma

    2. f ( t )   =   f 1 ( t )   +   f 2 ( t )   =   A   s e n ( ω t )   +   B   c o s ( ω t ) ,

    em que A   e   B dependem apenas de C   e   α .

  2. A Suponha que C   =   10   e que α   =   π / 3 . Determine constantes   k   e   φ tais que

  f ( t )   =   k   s e n ( ω t + φ ) .

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de pré-cálculo .Essa é bem grandinha, então vamos com calma.

Na letra a ) , temos que mostrar que

f ( t )   =   f 1 ( t )   +   f 2 ( t )   =   A   s e n ( ω t )   +   B   c o s ( ω t ) ,

A   e   B dependem apenas de C   e   α e onde

  f 1 ( t )   =   C   s e n ( ω t )   e   f 2 ( t )   =   C   s e n ( ω t   +   α )

Para isso, vamos lembrar que

s i n ( a + b ) = s i n ( a ) c o s ( b ) + s i n ( b ) c o s ( a )

Vamos verifica a igualdade

f ( t )   =   f 1 ( t )   +   f 2 ( t )

= C   s e n ( ω t )   +   C   s e n ( ω t   +   α )

usando o seno da soma de arcos

= C ( s i n ( ω t ) + s i n ( ω t ) c o s ( α ) + s i n ( α ) c o s ( ω t ) )

= C ( 1 + c o s ( α ) ) s i n ( ω t ) )   + C s i n ( α ) c o s ( ω t )  

=   A   s e n ( ω t )   +   B   c o s ( ω t )

Então mostramos a igualdade

Passo 2

Agora, vamos para a letra b )

A Suponha que C   =   10   e que α   =   π / 3 . Determine constantes   k   e   φ tais que

  f ( t )   =   k   s e n ( ω t + φ ) .

Bem como

f ( t )   = C ( 1 + c o s ( α ) ) s i n ( ω t ) )   + C s i n ( α ) c o s ( ω t )  

vamos substituir os valores de C   e     α   . Então

f ( t )   = C ( 1 + c o s ( α ) ) s i n ( ω t ) )   + C s i n ( α ) c o s ( ω t )  

= 15 s i n ( ω t ) + 5 3 c o s ( ω t )

Agora, queremos descobrir k   e   φ , tais que

k   s e n ( ω t + φ ) = 15 s i n ( ω t ) + 5 3 c o s ( ω t )

Vamos expandir o lado esquerdo

k   s e n ( ω t ) c o s ( φ ) + k s e n ( φ ) c o s ( ω t ) ) = 15 s i n ( ω t ) + 5 3 c o s ( ω t )

Comparando os dois lados da igualdade, podemos observar que e que

k s e n ( φ ) = 5 3

k c o s ( φ ) = 15

dividindo, temos

t g ( φ ) = 3 / 3

que é um valor conhecido,ou seja, �� = π / 6

Logo como

k s e n ( φ ) = 5 3

⇒ k = 10 3

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

desenvolvimento acima

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