UnB – Cálculo 1 – Lista de Exercícios 3 – Questão 13a
Verifique que cada uma das questões abaixo possui pelo menos uma solução
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?
O problema nos deu essa equação aqui
E perguntou se existe pelo menos uma solução! Bom, para isso, vamos facilitar nossa vida né? Vamos achar uma função que represente essa equação e que quando for solução, a função será zero
(na prática é só jogar todos os termos para um mesmo lado, igualar a zero e chamar isso de função )
E aí, fazemos o que com isso?
Teorema do valor inicial!
Teorema do valor inicial nos diz que se a função é contínua em um intervalo fechado (nosso caso seno e polinômio são super comportados) e se em um extremo do intervalo a função assume algum valor negativo e no outro extremo assume valor positivo, então existe algum valor dentro desse intervalo que a função é zero, e, portanto, temos uma raiz!
Então a ideia é achar uma função , verificar em que intervalo ela passa do negativo para positivo (ou vice e versa), ou seja, encontrar raiz!
E a raiz é solução da nossa equação! Então é isso!
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você! Vamos começar?
Passo 2
Nossa equação é
E a função que podemos formar a partir dessa equação é
Precisamos encontrar um zero dessa função. Mas isso é bem complicado, pois temos um seno e um . Mas então, o que fazer?
Lembra que precisamos de um intervalo no qual essa função troque de sinal, e quando temos funções periódicas (tipo o seno e o cosseno) a ideia é usar os pontos nos quais essa função (no caso o seno) atinge seu maior e menor valor, assim vamos ter uma imagem negativa e outra positiva, indicando que ali no meio deve ter uma raiz!
E você já sabe, se tem raiz, é porque a equação tem pelo menos uma solução! E é isso que o problema quer saber!
Passo 3
Vamos testar primeiro onde o seno vale :
Beleza? Agora vamos testar no que o seno tem seu valor máximo:
Beleza até aqui?
Então sabemos que no intervalo a função
Tem pelo menos 1 raiz! Ou seja, existe um ponto nesse intervalo que
Que é solução da nossa equação! Então sim, essa equação tem pelo menos 1 solução!