Exercícios Resolvidos de Equações trigonométricas

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Enunciado

Resolva a equação trigonométrica, sabendo que x ∈ [ 0,2 π ] :

tg 2 ⁡ x = 1

Passo 1

Faaaaala aí, meu anjo! Vamos resolver esse bichinho aí!

tg 2 ⁡ x = 1

Dessa equação, tiramos que:

tg ⁡ x = 1   o u tg ⁡ x = - 1

Passo 2

Se tg ⁡ x = 1

Temos que:

x = arctg ⁡ 1

E os ângulos que têm tangente 1 são:

45 °   e   225 °

Mas perceba que 225 ° = 45 ° + 180 ° , então podemos escrever os ângulos como:

x = π 4 + k π

Passo 3

Se tg ⁡ x = - 1

Temos que:

x = arctg ⁡ ( - 1 )

E os ângulos que têm tangente - 1 são:

13 5 °   e   31 5 °

Mas perceba que 31 5 ° = 13 5 ° + 180 ° , então podemos escrever os ângulos como:

x = 3 π 4 + k π

Passo 4

Mas como queremos apenas os ângulos no intervalo [ 0,2 π ] :

45 ° ,   135 ° ,   225 °   o u   315 °

Então:

x = π 4 ,   x = 3 π 4 ,   x = 5 π 4   o u   x = 7 π 4

Poderíamos achar esses valores substituindo os valores de k , dá no mesmo!

Resposta

x = π 4 ,   x = 3 π 4 ,   x = 5 π 4   o u   x = 7 π 4

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