Num parque de diversões, um carrinho desce de uma altura h , a partir do repouso, para dar a volta no loop de raio R indicado na figura 2.27 .

a) Desprezando o atrito do carrinho com o trilho, qual é o menor valor de h   =   h 1 necessário para permitir ao carrinho dar a volta completa?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o menor valor da altura h 1 , necessária para permitir que o carrinho der a volta completa no loop de R , como mostra a figura:

A gente tem que observar o seguinte, quando o carrinho tá no alto da trajetória circular, ele vai tá submetido a duas forças: a normal N , que o trilho faz sobre ele, o próprio peso P do carrinho. Essas são as forças responsáveis pelo giro e que compõem a força centrípeta:

F c p = P + N

Se a intenção é achar a altura mínima, buscamos também a velocidade mínima que o carrinho precisa para dar essa volta sem cair. Na situação limite, nossa normal vai ser 0 , que é quando o carrinho estiver perdendo contato com os trilhos (no alto da trajetória circular). Considerando isso e o teorema do trabalho energia, conseguimos chegar em uma expressão para a velocidade e a altura mínima h 1 .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar considerando o caso limite para o qual a força normal é nula e escrever a força centrípeta na forma:

F c p = P

Como a força centrípeta é F c p = m v 2 R e a força peso é dada por P = m g , temos:

m v 2 R = m g

Isolando v 2 :

v 2 = R g

Essa a velocidade mínima para o carrinho dar a volta completa no loop.

Passo 3

Agora, pelo teorema do trabalho e energia potencial, temos:

W g = - Δ U g

Onde W g é o trabalho da força gravitacional (da força peso) e - Δ U g é a variação de energia potencial gravitacional, dada por - Δ U g = U i - U f . Além disso, a gente sabe que a energia potencial pode ser escrita como U = m g h . No nosso caso, esse h = h 1 na energia inicial U i e h = 2 R na energia final U f . Assim, temos:

W g = m g h 1 - m g 2 R

A gente não sabe quem é W g , mas a gente sabe que ele pode ser igual a variação da energia cinética (teorema do trabalho e energia cinética). Como inicialmente a velocidade v 0 é zero, a variação de energia cinética vai ser dada por:

Δ K = m v 2 2 - m v 0 2 2 = m v 2 2

E a gente viu no passo anterior que v 2 = R g , então, substituindo fica:

Δ K = m R g 2

Como W g = Δ K , pelo teorema, vamos ter:

m g h 1 - m g 2 R = m R g 2

Simplificando m g dos dois lados:

h 1 - 2 R = R 2

Logo, a altura mínima será:

h 1 = R 2 + 2 R

h 1 = 5 2 R

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

h 1 = 5 2 R

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