Um planeta de massa possui dois satélites de massas iguais a percorrendo a mesma órbita circular de raio . Sabe-se que os satélites estão sempre em posições diametralmente opostas. Nos itens abaixo dê suas respostas em termos de e da constante universal da gravitação .
Determine o módulo da força gravitacional que atua em cada satélite.
Calcule o período de revolução do sistema.
Passo 1
O satélite sofrerá ação da força causada pelo planeta e pelo outro planeta. Assim, vamos calcular cada uma dessas forças e depois soma-las, sabendo que a como eles são iguais, a força que atuar em um terá módulo igual a que atua no outro, bastando assim calcular a força para um satélite.
Primeiro vamos calcular a força causada pelo planeta.
Agora a força causada pelo outro satélite. Sendo que os satélites estão afastados de .
Somando as duas forças a força resultante sobre um satélite é de:
Passo 2
Agora temos que lembrar de movimento circular. Em vários ramos da física usamos o conceito de período e frequência e sabemos que um é o inverso do outro.
No movimento angular, temos uma variável bem famosa que é a velocidade angular e ela é dada pela frequência, pela fórmula:
Ela também pode ser escrita como:
Outra coisa importantíssima no movimento circular é a que para que haja o movimento é necessário a força centrípeta. Que vale:
Podemos escreve-la em função da velocidade angular, assim:
Passo 3
Bem feita a revisão de movimento circular, podemos começar a fazer a questão, como o enunciado quer o período e a única coisa que temos é que o satélite executa um movimento circular, então vamos partir dae.
Para que haja o movimento circular devemos ter força centrípeta. Como a única força atuante nesse sistema é a força gravitacional ela será a força centrípeta. Assim:
Mas na revisão vimos que ela também vale
Então
Assim, podemos isolar a velocidade angular
Sabendo o valor da velocidade angular, conseguimos descobrir a frequência:
E agora para terminar, vamos inverter o valor que temos para descobrirmos o período:
Resposta