Mostre que a equação x^5 - 3x^4 - 2x^3 - x + 1 = 0 tem raiz no intervalo (0,1).

Passo 1

E ai moçadinha, bora pra mais uma?

Para demonstrar teoricamente que a equação x 5 - 3 x 4 - 2 x 3 - x + 1 = 0   tem pelo menos uma raiz no intervalo 0,1 , podemos utilizar o Teorema de Bolzano, também conhecido como Teorema do Valor Intermediário.

Esse teorema estabelece que se uma função contínua f ( x ) tem sinais opostos em dois pontos [ a , b ] de um intervalo fechado a , b , então existe pelo menos um ponto c no intervalo ( a , b ) onde a função se anula, ou seja, f c = 0 .

Passo 2

Vamos começar por analisar a função f x = x 5 - 3 x 4 - 2 x 3 - x + 1 .

Neste caso, a = 0   e   b = 1 , que são os limites do intervalo 0,1 .

Precisamos verificar se a função assume sinais opostos nos pontos a   e   b , ou seja, se f 0 e   f ( 1 ) possuem sinais diferentes.

Calculando f 0 :

f x = x 5 - 3 x 4 - 2 x 3 - x + 1

f 0 = 0 5 - 3 ⋅ 0 4 - 2 ⋅ 0 3 - 0 + 1

f 0 = 1

Calculando f 1 :

f x = x 5 - 3 x 4 - 2 x 3 - x + 1

f 0 = 1 5 - 3 ⋅ 1 4 - 2 ⋅ 1 3 - 1 + 1

f 0 = - 4

Podemos ver que f 0 é positivo e f ( 1 ) é negativo, ou seja, a função f ( x ) assume sinais opostos nos pontos a   e   b ,   cumprindo a condição do Teorema de Bolzano.

Portanto, de acordo com o teorema, existe pelo menos um ponto c no intervalo ( 0,1 ) onde f c = 0 , o que significa que a equação x 5 - 3 x 4 - 2 x 3 - x + 1 = 0 tem pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Resposta

Vide o passo a passo.

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