UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - 2021.2 - UFRJ - Lista 1 - Continuidade e TVI, Questão 4
Mostre que a equação tem raiz no intervalo (0,1).
Passo 1
E ai moçadinha, bora pra mais uma?
Para demonstrar teoricamente que a equação tem pelo menos uma raiz no intervalo podemos utilizar o Teorema de Bolzano, também conhecido como Teorema do Valor Intermediário.
Esse teorema estabelece que se uma função contínua tem sinais opostos em dois pontos de um intervalo fechado então existe pelo menos um ponto no intervalo onde a função se anula, ou seja, .
Passo 2
Vamos começar por analisar a função .
Neste caso, que são os limites do intervalo
Precisamos verificar se a função assume sinais opostos nos pontos ou seja, se possuem sinais diferentes.
Calculando
Calculando
Podemos ver que é positivo e é negativo, ou seja, a função assume sinais opostos nos pontos cumprindo a condição do Teorema de Bolzano.
Portanto, de acordo com o teorema, existe pelo menos um ponto no intervalo onde , o que significa que a equação tem pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Resposta
Vide o passo a passo.