UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - 2021.2 - UFRJ - Lista 1 - Continuidade e TVI, Questão 5
Seja , para . Justifique porque podemos afirmar que existe tal que .
Passo 1
E ai cremosos, borá lá?
A função dada é .
Vamos analisar a possibilidade de encontrar um valor de x para o qual f(x) seja igual a 100.
Para justificar a existência de um valor tal que , podemos utilizar o Teorema do Valor Intermediário, também conhecido como Teorema de Bolzano.
Esse teorema estabelece que se uma função contínua f(x) está definida em um intervalo [a, b], e f(a) é diferente de f(b), então para qualquer número real k que esteja entre f(a) e f(b), existe pelo menos um valor no intervalo [a, b] tal que .
No nosso caso, estamos procurando um valor de x_0 tal que
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da função para entender como ela varia.
A derivada da função .
Encontramos os pontos críticos calculando onde a derivada se anula: .
Resolvendo a equação quadrática, encontramos os pontos críticos em
Agora, podemos construir um gráfico aproximado da função para entender seu comportamento:
- Quando x é negativo, tende a menos infinito à medida que x se afasta do zero.
- Quando x está próximo de 1, a função possui um valor negativo, mas não tão distante de zero.
- Quando x está próximo de , a função também possui um valor negativo, mas novamente não tão distante de zero.
- À medida que x aumenta além de começa a aumentar significativamente, já que os termos de maior potência começam a dominar.
Passo 3
O que podemos observar é que a função possui um valor próximo a 100 (positivo) para algum valor de x entre 4 e 5, aproximadamente.
Portanto, pelo Teorema do Valor Intermediário, podemos afirmar que existe pelo menos um valor (ou seja, dentro deste intervalo) tal que
Portanto, teoricamente, há pelo menos um valor para o qual a função assume o valor de 100.
Resposta
Portanto, teoricamente, há pelo menos um valor para o qual a função assume o valor de 100.