UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cáclulo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 1.5
5] Seja , mostre que a bola aberta é um conjunto aberto.
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nesse problema, temos que provar que uma bola aberta com é um conjunto aberto.
E aí, como fazemos isso? 😐
Uma bola é uma circunferência em ou uma esfera em por exemplo.
Uma bola é aberta quando estamos interessados nos pontos fora da bola, ou seja
Mas como podemos provar que uma bola aberta é um conjunto aberto? 🤔
Passo 2
Se temos uma bola com podemos mostrar que existe de tal que tenhamos
Contida em .
Dessa forma, se , temos que onde é a diferença de para . Ou seja
Agora fazendo a mesma análise para , temos que
Portanto também e com isso concluímos que é ponto interior de e, como é qualquer valor, temos que é um conjunto aberto.
Podemos obter essas condições a partir do Teorema da Curva de Jordan.
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
Resposta
é um conjunto aberto.