Exercícios Resolvidos de Introdução a Conjuntos

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Enunciado

Com ajuda do produto interno | x | 2 = < x , x > ,   c o m   x ∈ R n , verifique a identidade do paralelogramo

| x + y | 2 + | x - y | 2 = 2 ( | x | 2 + | y | 2 ) (Identidade do Paralelogramo)

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão Teórica de Cálculo. Essa questão é bem bacana!!!! Vamos resolvê-la

Nosso objetivo é mostrar a identidade do paralelogramo

| x + y | 2 + | x - y | 2 = 2 ( | x | 2 + | y | 2 ) (Identidade do Paralelogramo)

Passo 2

Bem, vamos começar manipulando a equação

| x + y | 2 + | x - y | 2

Temos que

| x + y | 2 + | x - y | 2 = < x + y ,   x + y >   +   < x - y ,   x - y >

Usando a linearidade do produto interno

< x + y ,   x + y >   +   < x - y ,   x - y > = < x , x > + 2 < x , y > + < y , y >   +   < x - y ,   x - y >

Abrindo o outro produto interno chegamos que

= 2 < x , x > + 2 < y , y >

Que é

= 2 ( | x | 2 + | y | 2 )

Concluindo assim nossa demonstração

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

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