UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cáclulo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 1.4d
Verificar quais dos seguintes conjuntos são conexos
Passo 1
Faaaala pessoal, como vocês estão?
Então, nessa questão recebemos o seguinte conjunto:
Ou seja, é um conjunto cujos pontos são definidos pela inequação:
Precisamos verificar se esse conjunto é conexo.
Um conjunto conexo é aquele que não pode ser separado em dois conjuntos abertos disjuntos, ou seja, que não tem intersecção. Isso significa que o conjunto não pode ser separado em pedações desconectados.
Pra verificarmos isso, tem um bizu muito legal. Vamos desenhar a região no plano e verificar se para quaisquer dois pontos escolhidos conseguimos traçar um caminho entre eles que esteja todo contido dentro da região. Se isso acontecer, o conjunto é conexo, beleza?
Vamo nessa!
Passo 2
Bom, a nossa região é definida pela equação:
Essa equação se divide em dois casos, primeiro temos:
E, depois para:
Um ponto importante é que temos a restrição .
Juntando esses dois casos no plano, vamos ter a seguinte região:
Perfeito!
Passo 3
Agora que já desenhamos a região vamos usar aquele bizu do passo pra determinar se ela é conexa ou não.
Será que existe algum par de pontos que não existe um caminho os ligando que pertença à região azul?
Simmm, se pegarmos um ponto em e outro ponto em , não existe um caminho que liga eles e esteja totalmente na região azul.
Isso porque o conjunto não contém o ponto . Assim, temos dois pedaços separados.
Por isso, concluímos que a região não é conexa.
E aí, conseguiram pegar a ideia? Responde Aí!
Resposta
Não é conexa.