UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cáclulo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 1.3c
Identificar as afirmações verdadeiras
c A união de bolas abertas é um conjunto conexo.
Passo 1
Ooi galera, tudo tranquilo por aí?
Nessa questão precisamos verificar se a afirmação:
“A união de bolas abertas é um conjunto conexo.”
é verdadeira ou falsa, beleza?
Pra começar, vocês lembram o que é um conjunto conexo?
Um conjunto conexo é aquele que não pode ser separado em dois conjuntos abertos disjuntos, ou seja, que não tem intersecção.
Por exemplo, o conjunto:
Conseguimos separá-lo em dois conjuntos abertos?! Poderíamos tentar fazer:
onde .
Mas, o problema de separar dessa forma é que o ponto não estaria pertencendo a . Logo, temos que esse é um exemplo de conjunto conexo.
Sacaram a ideia?
Então vamo nessa, verificar se ao unirmos bolas abertas temos um conjunto conexo ou não.
Passo 2
Bom, pra verificar essa afirmação vamos testar um exemplo. Se o exemplo mostrar que a afirmação é falsa, então ele se torna um contraexemplo e já matamos a questão haha.
Se o exemplo satisfizer a afirmação precisaremos pensar um pouco mais.
Queremos verificar a união de dois conjuntos abertos. Vamos chamar então:
Unindo os dois conjuntos, temos:
Beleza, unimos duas bolas abertas. A bola aberta que estava no ponto nos dois conjuntos.
Será que essa união é um conjunto conexo?
Bom, da própria forma que escrevemos essa união vimos que podemos separá-la em dois conjuntos abertos e disjuntos.
Logo, como podemos separar dessa forma, não se trata de um conjunto conexo.
Portanto, a afirmação é falsa!
Resposta
Falsa.