UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cálculo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 1.6
Com uma simples modificação no exercício anterior, mostre que a bola aberta é um
conjunto aberto para quaisquer
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão Teórica de Cálculo. Essa questão é bem bacana!!!! Vamos resolvê-la
Nosso objetivo é mostrar que a bola aberta é um conjunto aberto para quaisquer
Passo 2
O que é um conjunto aberto? Pela definição se é um conjunto aberto então para todo
Isto é, podemos envolver os elementos de por uma bolinha de forma que todo mundo dentro da bola é contido em . Bacana né?
Bem, dessa forma. Vamos tomar um ponto e supor que este ponto está dentro da bola aberta .
Agora, definimos o número
Dessa forma, podemos construir a seguinte bola ao redor de
Fazendo isso podemos garantir que
Pois pela definição de sabemos a distância até o bordo da bola , e pegando um valor menor garantimos que todo mundo está contido.
Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊
Resposta
Desenvolvimento Acima