UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cáclulo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 1.3b
Identificar as afirmações verdadeiras
A união de bolas é um conjunto aberto.
Passo 1
E aí pessoal, tudo beleza?
Nessa questão precisamos avaliar a seguinte afirmação:
“A união de bolas é um conjunto aberto.
E aí, será que é verdade?!
Um detalhe importante que devemos notar aqui é que a afirmação não revela se estão sendo unidas bolas abertas ou fechadas. Isso significa que, para a afirmação ser verdadeira, ela precisa atender todos os casos (bolas abertas, bolas fechadas, etc...).
Massa!
Então vamos buscar verificar se ela é verdadeira pro caso mais improvável, se isso for verdadeiro então a afirmação deverá ser verdadeiro para os outros.
Vem com a gente 😊
Passo 2
Bom, a primeira pergunta que precisamos nos fazer é qual a união de bolas que mais pode complicar essa informação. Se tivermos a união de duas bolas fechadas, parece ser um caso complicado, pois na bola fechada o elemento pertence ao conjunto.
Ou seja, em um conjunto do tipo:
Há bola fechada tanto em como em , pois esses pontos pertencem a esse intervalo.
Agora que já entendemos esse conceito, vamos pensar na união de duas bolas fechadas.
Se tivermos os intervalos:
Unindo esses dois conjuntos, segundo a afirmação do enunciado, a união das bolas fechadas no ponto deveria resultar em uma bola aberta nesse ponto. Porém, quando fazemos:
Ou seja, o ponto pertence ao intervalo. É como se tivéssemos uma bola aberta nele, logo a afirmação é falsa.
Resposta
Falsa.