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Exercícios Resolvidos de Posição Relativa de Reta e Plano

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Enunciado

PUCRIO, Álgebra Linear I, G4-2017.2, Questão 1

Considere duas retas r e s paralelas definidas por

r   =   { t ( 1 ,   - 1 ,   2 ) | t   ∈ R }   e

s   =   { ( 1 ,   1 ,   0 )   +   t ( 1 ,   - 1 ,   2 ) | t   ∈ R }   .

(a) Encontre a equação cartesiana do plano Π 1 que contém ( 0 ,   0 ,   0 ) e é ortogonal à reta r .

(b) Encontre o ponto P que é a interseção do plano Π 1 do item (a) com a reta s .

(c) Calcule a distância entre r e s .

(d) Encontre a equação cartesiana do plano Π 2 que contém as duas retas r e s .

Passo 1

(a) Bom, sabemos que o vetor ortogonal ao plano deve ser o vetor diretor da reta r , logo, deve ser ( 1 , - 1,2 ) .

Acontece que os coeficientes das variáveis na equação cartesiana do plano são as próprias coordenadas do vetor ortogonal a ele! Dessa forma:

( a , b , c ) ⊥ Π 1

a x + b y + c z = d

Mas a gente tem que a , b , c = ( 1 , - 1,2 ) , vou só substituir:

x - y + 2 z = d

Falta, então, achar o d ! Vamos usar a outra informação que o enunciado nos deu: ( 0,0 , 0 ) está contido no plano. Assim, esse ponto deve satisfazer a nossa equação.

x - y + 2 z = d ⟹ 0 - 0 + 2 ∙ 0 = d

d = 0

Então nossa equação vai ser:

x - y + 2 z = 0

Passo 2

(b)Queremos um ponto que pertence ao mesmo tempo a reta s   e ao plano Π 1 .

Os vetores da reta s tem a seguinte forma:

s   =   { ( 1 ,   1 ,   0 )   +   t ( 1 ,   - 1 ,   2 ) | t   ∈ R }

P = ( 1 + t , 1 - t , 2 t )

E como esse ponto P pertence ao plano, ele tem que satisfazer a equação que achamos no item (a):

x - y + 2 z = 0

Substituindo:

1 + t - 1 + t + 4 t = 0

t = 0

Temos agora que o ponto P vai ser ( 1 + t , 1 - t , 2 t ) com t = 0 . Ou seja, ( 1,1 , 0 ) .

Passo 3

(c) Como as duas retas tem o mesmo vetor diretor, elas são paralelas. Como são paralelas, um plano que é ortogonal à uma, vai ser ortogonal às duas.

Assim Π 1 é ortogonal às duas retas! Basta pegar o ponto que pertence a s e Π 1 e o ponto que pertence a r   e Π 1 e ver a distância entre eles.

Passo 4

O ponto que pertence a s e a Π 1 é o próprio ponto P que achamos no item (b):

P = ( 1,1 , 0 )

E o ponto que pertence a r   e Π 1 qual vai ser? Sabemos que ( 0,0 , 0 ) pertence ao plano, mas será que ele pertence a r ?

Vendo a equação     r   =   { t ( 1 ,   - 1 ,   2 ) | t   ∈ R } , conseguimos ver que é só substituir t = 0 ! Logo, o nosso outro ponto vai ser Q = 0,0 , 0 .

A distância vai ser P Q → = 0,0 , 0 - ( 1,1 , 0 ) = ( - 1 , - 1,0 )

( - 1 , - 1,0 ) = - 1 2 + - 1 2 + 0 2 = 2

Passo 5

(d) Temos um dos vetores diretores de Π 2 , o vetor diretor das retas! Além disso, temos um vetor perpendicular às duas, que também vai pertencer ao plano:

Assim, temos os dois vetores diretores do nosso plano:

Π 2 = { s 1,1 , 0 + t ( 1 , - 1,2 ) | s ,   t ∈ R }

Passo 6

Para achar a equação cartesiana, vamos achar o vetor perpendicular ao plano fazendo o produto vetorial dos vetores diretores:

1,1 , 0 × 1 , - 1,2 = i → j → k → 1 1 0 1 - 1 2 = ( 2 , - 2 , - 2 )

Assim, temos:

2 x - 2 y - 2 z = 0

Lembrando que vai ser igualado a zero porque o plano contém a origem!

Passo 7

Resposta

(a)   x - y + 2 z = 0

(b)   ( 1,1 , 0 )

(c)   2

(d)   2 x - 2 y - 2 z = 0

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