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Exercícios Resolvidos de Posição Relativa de Reta e Plano

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Enunciado

Considere os pontos A = ( 0 ,   1 ,   0 ) , B = ( 1 ,   0 ,   - 1 ) e C = ( 1 ,   1 ,   2 ) e a reta s : X = 0 ,   0 ,   - 3 + λ ( 1 ,   1 ,   1 ) .

a) Escreva a equação geral do plano A B C .

b) Determine a posição relativa entre a reta s e o plano A B C .

c) Determine todos os pontos S sobre a reta s tais que o volume do tetraedro A B C S seja 6 .

(Nota: lembre que o volume de um tetraedro definido por 3 vetores é a sexta parte do módulo do produto misto entre eles)

Passo 1

a) Para que um ponto genérico X = ( x ,   y ,   z ) pertença ao plano A B C , o produto misto [ A X → ,   A B → ,   A C → ] deve ser igual a 0, onde

A X → = X - A = ( x ,   y - 1 ,   z )

A B → = B - A = ( 1 ,   - 1 ,   - 1 )

A C → = C - A = ( 1 ,   0 ,   2 )

Calculando o produto misto:

A X → ,   A B → ,   A C → = x y - 1 z 1 - 1 - 1 1 0 2 = 2 x + 3 y - z = 3

Logo, a equação do plano A B C é 2 x + 3 y - z = 3

Passo 2

b) Fazendo o produto escalar do vetor diretor de s , v → = ( 1 ,   1 ,   1 ) , com o vetor normal do plano A B C , n → = ( 2 ,   3 ,   - 1 ) , teremos

1 ,   1 ,   1 . 2 ,   3 ,   - 1 = 2 + 3 - 1 = 4

Como o produto escalar é diferente de 0, a reta s é transversal ao plano A B C .

Passo 3

c) O volume do tetraedro A B C S é um sexto do módulo do produto misto [ A S → ,   A B → ,   A C → ] .

Um ponto genérico da reta s , de acordo com sua equação vetorial, é S = ( λ ,   λ ,   - 3 + λ ) .

Então A S → = S - A = ( λ ,   λ - 1 ,   - 3 + λ ) .

Fazendo o produto misto 1 6 [ A S → ,   A B → ,   A C → ] :

1 6 λ λ - 1 - 3 + λ 1 - 1 - 1 1 0 2 = - 2 λ - 3 λ - 1 + λ - 3 6 = - 4 λ 6 = - 2 λ 3

Queremos que o volume desse tetraedro seja 6 , então:

- 2 λ 3 = 6

2 λ ' = - 18

λ ' = - 9

Ou:

2 λ ' ' = 18

λ ' ' = 9

Para λ ' = - 9 , temos S ' = - 9 , -   9 ,   - 3 - 9 = ( - 9 ,   - 9 ,   - 12 )

Para λ ' ' = 9 , temos S ' ' = 9 ,   9 ,   - 3 + 9 = ( 9 ,   9 ,   6 )

Resposta

a) 2 x + 3 y - z = 3

b) Transversal

c) S ' = ( - 9 ,   - 9 ,   - 12 )

S ' ' = ( 9 ,   9 ,   6 )

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