Considere o plano e as retas

e

Um tetraedro tem um vértice no ponto de intersecção das retas e , tem volume 52 e uma de suas faces, contida no plano , é um triângulo retângulo com ângulo reto em um ponto da reta . Faça uma figura que represente esse tetraedro e determine as coordenadas de seus 4 vértices.

Agora precisamos achar as coordenadas dos 4 vértices.

Vamos começar pelo vértice , fazendo a intersecção das retas e beleza?

Antes de tudo vamos diferenciar os parâmetros, porque não podemos fazer a intersecção se o parâmetro das duas retas for o hehe então

e

Um ponto genérico da reta é e um ponto genérico da reta é .

Para encontrar a intersecção, vamos igualar esses dois pontos:

Isso vai dar pra gente o sistema:

Da última linha, temos que , substituindo na segunda linha temos

Então

Logo, o nosso ponto de intersecção vai ser

Agora vamos encontrar o vértice ok? Ele vai ser a intersecção da reta com o plano .

Vamos pegar aquele ponto genérico da reta que a gente achou no passo anterior e substituir na equação do plano :D

Então o vértice vai ser

E o ponto ?

Ele é a intersecção da reta com o plano né? Então bora fazer a mesma coisa do passo anterior: substituir o ponto genérico de na equação do plano :

Então o ponto vai ser

Agora só falta o ponto hihi

Vamos chamar de .

Antes de tudo:

As informações que temos de são:

• Ele pertence ao plano
• O volume do tetraedro total é 52

Da primeira condição, aplicando o ponto no plano , temos que

Da segunda condição:

E da terceira condição:

Resolvendo o determinante e passando o 6 pro outro lado:

Agora temos que resolver o sistema:

Resolvendo esse sistema, encontramos dois possíveis valores para :

Aeee, encontramos todos os nossos vértices :D