Exercícios Resolvidos de Posição Relativa de Reta e Plano

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Enunciado

Dados os planos π 1 e π 2 , a reta r e o ponto D :

π 1 : x - y + z - 2 = 0

π 2 : X = 3 ,   2 ,   0 + λ 1 ,   3 ,   0 + μ ( 1 ,   1 ,   - 1 )

r : X = - 1 ,   - 4 ,   2 + λ ( 2 ,   4 ,   - 1 )

D = ( 2 ,   3 ,   2 )

a) Encontre a equação geral de π 2 .

b) Qual a posição relativa entre r e π 2 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

a) Para encontrarmos a equação geral de π 2 , precisamos calcular o seguinte determinante:

x - x o y - y o z - z o x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 = 0

Onde P = ( x o ,   y o ,   z o ) é um ponto do plano, enquanto u = ( x 1 ,   y 1 ,   z 1 ) e v = ( x 2 ,   y 2 ,   z 2 ) são vetores diretores.

Eita mas a gente já tem a equação vetorial do plano π 2 , então podemos tirar essas informações de lá:

P = ( 3 ,   2 ,   0 )

u → = ( 1 ,   3 ,   0 )

v → = ( 1 ,   1 ,   - 1 )

Passo 2

Substituindo os dados no determinante:

π 2 :   x - 3 y - 2 z - 0 1 3 0 1 1 - 1 = - 3 x - 3 + y - 2 - 2 z = 0

Então, a equação geral de π 2 é

π 2 : 3 x - y + 2 z = 7

Passo 3

b) Pelas equações de r e de π 2 , sabemos que um vetor diretor de r é w → = ( 2 ,   4 ,   - 1 ) e um vetor normal de π 2 é n → = ( 3 ,   - 1 ,   2 ) .

Fazendo o produto escalar entre esses dois vetores:

v → . n → = 6 - 4 - 2 = 0

Logo, n → e v → são perpendiculares.

Isso quer dizer que v → , e consequentemente r , é paralelo ao plano π 2 , mas precisamos testar algum ponto de r no plano pra ver se ela está contida nele demorou?

Substituindo o ponto ( - 1 ,   - 4 ,   2 ) ∈ r na equação geral do plano π 2 :

3 . ( - 1 ) - ( - 4 ) + 2 . 2 = 5 ≠ 7

Logo, como o ponto de r não pertence a π 2 , r não está contida no plano. Então ela é apenas paralela a ele, como mostra o esboço abaixo :P

Resposta

a) π 2 : 3 x - y + 2 z = 7

b) Paralelos.

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Verifique se a reta ⎧x= 1 - 3 α⎧ r⎢y= 2+ α ⎢ ⎩z= 1-2 α⎩ está contida no plano determinado pelos pontos ( 1,0 , - 1 ) , ( 2,1 , 1 ) e ( 0,3 , 1 ) .
Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois. No caso de nenhum dos dois, calcule o ângulo entre eles. 2 x - 3 y + 4 z = 5 , x + 6 y + 4 z = 3
Encontre uma equação de plano para um plano que passe pelo ponto ( 2,0 , 1 ) e seja perpendicular ao vetor x = 3 t , y = 2 - t , z = 3 + 4 t .
Determine as equações paramétricas da reta intersecção dos planos. 5 x - 2 y - 2 z = 1
Determine o ponto no qual a reta intercepta o plano dado. x = y - 1 = 2 z ; 4 x - y + 3 z = 8 .