Exercícios Resolvidos de Posição Relativa de Reta e Plano

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Enunciado

Considere as retas r : x - 1 2 = y 2 = z 2 e s : X = 4 ,   1 ,   - 6 + λ ( - 2 ,   1 ,   0 ) , e o plano σ : x - z + 11 = 0 .

  1. Determine uma equação geral para o plano γ que contém a reta s e é perpendicular ao plano σ .
  2. Determine a posição relativa entre a reta r e o plano σ . Em seguida, caso exista, determine r ∩ σ .

Passo 1

  1. Galera, uma forma de a gente definir um plano é pegar três vetores desse plano. Com isso, a gente usa a definição de produto misto e iguala a zero, porque produto misto define volume, e se os três estão no mesmo plano, a figura formada por eles não tem volume! Então bora lá!
  2. Como a reta s está contida no plano γ , o ponto ( 4 ,   1 ,   - 6 ) está no plano, e daí, se x ,   y ,   z é um ponto desse plano, o vetor ( x - 4 ,   y - 1 ,   z + 6 ) está contido no plano também! Pelo mesmo motivo, o vetor ( - 2 ,   1 ,   0 ) , que é diretor da reta s , é um vetor diretor do plano γ . Precisamos achar outro vetor diretor! Mas se liga, o plano γ é perpendicular ao plano σ . Isso quer dizer que o vetor normal ao plano σ é um outro vetor diretor do plano γ ! Esse vetor a gente acha da equação do plano σ : n → = ( 1 ,   0 ,   - 1 ) . Chuchu beleza, temos tudo! Agora é só substituir no determinante.

    x - 4 y - 1 z + 6 - 2 1 0 1 0 - 1 = 0

    - x + 4 - z - 6 - 2 y + 2 = 0

    x + 2 y + z = 0

    Pronto, achamos a equação geral do plano γ !

    Passo 2

  3. Vamos começar escrevendo a equação paramétrica de r :

  x - 1 2 = y 2 = z 2 = t  

r :   x = 2 t + 1 y = 2 t z = 2 t

Daqui a gente consegue escrever uma equação vetorial da reta r!

r : X = 1 ,   0 ,   0 + t ( 2 ,   2 ,   2 )

Então, o vetor diretor de r é o vetor ( 2 ,   2 ,   2 ) . Vamos calcular o produto escalar desse vetor com o vetor normal de σ , pra gente poder ter uma noção do ângulo entre eles.

r → ⋅ n → = 2 ,   2 ,   2 ⋅ 1 ,   0 ,   - 1 = 2 + 0 - 2 = 0

Mas pera aí, se o produto escalar deu zero, quer dizer que o diretor de r é perpendicular ao vetor normal do plano. Pera aí, então r é paralela com o próprio plano σ , sacou? Isso nos dá duas possibilidades: ou r está contida no plano ou r é paralela e não toca o plano. Pra ver qual dessas duas é verdade, vamos ver se um ponto de r está no plano. É só pegar esse ponto ( 1 ,   0 ,   0 ) e substituir na equação do plano σ .

1 - 0 + 11 = 12 ≠ 0

Como o lado esquerdo não bateu com o direito, quer dizer que o ponto não está no plano, e então a reta r não está no plano. Portanto, a interseção de r com σ é vazia!

r ∥ σ   e   r ⋂ σ = ∅

Resposta

  1. γ : x + 2 y + z = 0  
  2. r ∥ σ   e   r ⋂ σ = ∅

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Verifique se a reta ⎧x= 1 - 3 α⎧ r⎢y= 2+ α ⎢ ⎩z= 1-2 α⎩ está contida no plano determinado pelos pontos ( 1,0 , - 1 ) , ( 2,1 , 1 ) e ( 0,3 , 1 ) .
Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois. No caso de nenhum dos dois, calcule o ângulo entre eles. 2 x - 3 y + 4 z = 5 , x + 6 y + 4 z = 3
Encontre uma equação de plano para um plano que passe pelo ponto ( 2,0 , 1 ) e seja perpendicular ao vetor x = 3 t , y = 2 - t , z = 3 + 4 t .
Determine as equações paramétricas da reta intersecção dos planos. 5 x - 2 y - 2 z = 1
Determine o ponto no qual a reta intercepta o plano dado. x = y - 1 = 2 z ; 4 x - y + 3 z = 8 .