Considere as retas r 1 e r 2 de R 3 cujas equações paramétricas são

r 1 : 1 + t ,   2 t ,   1 - 2 t ,   t ∈ R

r 2 : a + 2 t ,   1 + t ,   10 + t ,   t ∈ R

A reta r 3 de equação cartesiana

r 3 :   x + y + z = 3 x - y + 2 z = 1

E o plano π de equação cartesiana

π : x + y + 2 z = 4

b) Determine a equação cartesiana do plano φ que contém a reta r 1 e é paralelo a r 2 .

Passo 1

Um vetor normal do plano que queremos pode ser dado pelo produto vetorial dos vetores diretores de r 1 e r 2 , concorda?

Porque as duas retas são paralelas ao plano, então seu produto vetorial será perpendicular, e portanto, um vetor normal.

Logo, como os seus vetores diretores são ( 1 ,   2 ,   - 2 ) e ( 2 ,   1 ,   1 ) (lembrando que os vetores diretores são formados pelos coeficientes do parâmetro t )

n = 1 ,   2 ,   - 2 ∧ 2 ,   1 ,   1 = ( 4 , -   5 ,   - 3 )

Então, a equação do plano pode ser escrita assim

4 x - 5 y - 3 z + d = 0

Passo 2

O plano contém a reta r 1 certo? Então, ele contém o ponto ( 1 ,   0 ,   1 ) da equação da reta.

Para encontrarmos d , vamos substituir esse ponto na equação do plano:

4.1 - 5.0 - 3.1 + d = 0

d = - 1

Então, a equação do plano é

4 x - 5 y - 3 z - 1 = 0

Resposta

4 x - 5 y - 3 z - 1 = 0

Exercícios Resolvidos de Posição Relativa de Reta e Plano

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