Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Posição Relativa de Reta e Plano

Ver Teoria
Exercício 1012345678911121314151617181920212223242526

Enunciado

UFRJ; Sem campus; Álgebra Linear 2; P1; 2022.2; Questão 6

Q6: Qual dos hiperplanos abaixo não intercepta a reta { ( 2 ,   2 ,   − 2 ,   1 )   +   t ( 2 ,   1 ,   1 ,   2 ) ;   t   ∈   R } ?

(A)   2   x 1   +   x 2   −   x 3   −   2   x 4   =   6

(B) 2   x 1   +   x 2   +   x 3   +   2   x 4   =   8

(C)   2   x 1   +   x 1   +   x 3   +   2   x 4   =   6

(D) 2   x 1   +   x 2   −   x 3   −   2   x 4   =   8

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Dessa vez queremos verificar quais dos hiperplanos não intercepta a reta { ( 2 ,   2 ,   − 2 ,   1 )   +   t ( 2 ,   1 ,   1 ,   2 ) ;   t   ∈   R } ?

E aí, como fazemos isso? Bem note que qualquer ponto da reta é definido como

( 2 + 2 t ,   2 + t ,   − 2 + t ,   1 + 2 t )

Logo só precisamos substituir esses valores de x 1   ,   x 2   , x 3   e   x 4 nas retas disponibilizadas nas alternativas e verificar onde a igualdade não é verdadeira

Passo 2

Começando pelo primeiro plano

  2   x 1   +   x 2   -   x 3   −   2   x 4   =   6

Como os pontos da reta são ( 2 + 2 t ,   2 + t ,   − 2 + t ,   1 + 2 t ) , vamos substituir. Fazendo isso temos:

  2   ( 2 + 2 t )   +   2 + t   - ( - 2 + t )   −   2 ( 1 + 2 t )   =   6

⇒ 6 + 0 t = 6

Ou seja, existe um t ∈ R que faz a igualdade ser verdadeira, logo existe uma interseção. Com não queremos que essa interseção exista, descartamos essa alternativa

Passo 3

Vamos checar o segundo plano

  2   x 1   +   x 2   +   x 3   −   2   x 4   =   8

Como os pontos da reta são ( 2 + 2 t ,   2 + t ,   − 2 + t ,   1 + 2 t ) , vamos substituir. Fazendo isso temos:

  2   ( 2 + 2 t )   +   2 + t   + ( - 2 + t )   −   2 ( 1 + 2 t )   =   6

⇒ 0 + 4 t = 6

Ou seja, existe um t ∈ R que faz a igualdade ser verdadeira, logo existe uma interseção. Com não queremos que essa interseção exista, descartamos essa alternativa

Passo 4

Vamos checar o quarto plano

2   x 1   +   x 2   −   x 3   −   2   x 4   =   8

Como os pontos da reta são ( 2 + 2 t ,   2 + t ,   − 2 + t ,   1 + 2 t ) , vamos substituir. Fazendo isso temos:

  2   ( 2 + 2 t )   +   2 + t   - ( - 2 + t )   −   2 ( 1 + 2 t )   =   8

⇒ 6 + 0 t = 8

Ou seja, NÃO existe um t ∈ R que faz a igualdade ser verdadeira, não existe elemento na interseção da reta com esse plano. Portanto a alternativa correta é a letra d )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

d )

Exercícios de Livros Relacionados

Verifique se a reta ⎧x= 1 - 3 α⎧ r⎢y= 2+ α ⎢ ⎩z= 1-2 α⎩ está contida no plano determinado pelos pontos ( 1,0 , - 1 ) , ( 2,1 , 1 ) e ( 0,3 , 1 ) .
Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois. No caso de nenhum dos dois, calcule o ângulo entre eles. 2 x - 3 y + 4 z = 5 , x + 6 y + 4 z = 3
Encontre uma equação de plano para um plano que passe pelo ponto ( 2,0 , 1 ) e seja perpendicular ao vetor x = 3 t , y = 2 - t , z = 3 + 4 t .
Determine as equações paramétricas da reta intersecção dos planos. 5 x - 2 y - 2 z = 1
Determine o ponto no qual a reta intercepta o plano dado. x = y - 1 = 2 z ; 4 x - y + 3 z = 8 .