Mostre que as retas abaixo são concorrentes e determine o ponto de interseção entre elas.
e
Passo 1
Como o problema pede para mostrarmos que as retas são concorrentes, vamos mostrar que não são paralelas nem reversas.
Do enunciado tiramos os vetores diretores:
Assim, vamos ver se
Abrindo isso,
Como nenhum valor de bate, e não são paralelos!
Agora, vamos checar se as retas são reversas!
Já conhecemos os vetores diretores:
E os respectivos pontos de cada reta são:
Fazendo
Assim conseguimos montar nosso produto misto!
Como o produto misto deu zero, os vetores são coplanares e as retas não são reversas!
Logo, só podem ser concorrentes 😊
Passo 2
Beleza, vamos achar o ponto de interseção agora!
Para facilitar a nossa visualização, vou passar a equação de para forma paramétrica:
a gente já conhece:
O ponto de interseção entre duas retas concorrentes é o ÚNICO ponto em que elas se cruzam, ou seja, é o único ponto em que suas coordenadas são iguais! Então, para achar esse ponto, basta igualar as coordenadas das duas retas! Temos os sistemas:
Somando as duas primeiras equações:
Substituindo nas 3 equações:
Beleza, o deu igual em todas (ufa!). Agora podemos achar o ponto!
Passo 3
Podemos usar qualquer uma das retas. Vou usar a :
Nosso ponto vale então: