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Exercícios Resolvidos de Posições Relativas de Retas

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Exercício 2312345678910111213141516171819202122242526

Enunciado

USP, PSUB, 2019, Q2

Em E 3 , as retas

r :   X = 1,0 , 0 + α 0,1 , 1   α ∈ R ,

s :     Y = 0,2 , 0 + β 1,0 , 1   β ∈ R   e

t :   Z = 0,0 , 3 + γ 1,1 , 0   ( γ ∈ R )

São concorrentes com a reta h nos pontos A, B, e C, respectivamente. Se B = ( a , b , c ) é o ponto médio do segmento AC, então a + b + c é igual a

a )   4

b ) - 4

c ) - 2

d )   0

e )   6

Passo 1

Falaaaaaa, blz??? Bora continuar nessa provinha com essa nova questão.

Essa questão envolve o conceito de retas concorrentes e pontos, existe uma forma da gente unir a ideia de ponto com a de reta, veja:

r :   X = 1,0 , 0 + α 0,1 , 1   α ∈ R

Podemos escrever r da seguinte forma:

r = 1 , α , α ∈ R 3 ;   α ∈ R

Escrever assim é um pouco melhor pois fica mais fácil para as contas.

Fazendo o mesmo para s e t:

s = β , 2 , β   ∈ R 3 ;   β ∈ R

t = ( γ , γ , 3 ) ∈ R 3 ; γ ∈ R

Passo 2

Pronto, agora vamos tomar:

A =   1 , α , α

B = β , 2 , β  

C = γ , γ , 3  

Onde A é o ponto de interseção da reta r com a reta h, B é o ponto de interseção da reta s com a reta h e o mesmo para C.

Pelo enunciado, temos que B é o ponto médio do segmento AC, vamos usar isso:

B = A + C 2

Ou seja:

2 B = A + C  

2 β , 2 , β = 2 β , 4 , 2 β = 1 , α , α + γ , γ , 3 = 1 + γ , α + γ , α + 3

Passo 3

Vamos igualar as coordenadas:

2 β = 1 + γ 4 = α + γ   2 β = α + 3  

Igualando a primeira e terceira:

1 + γ = α + 3 → γ = α + 2

Colocando isso na segunda equação:

4 = α + α + 2 = 2 α + 2 → α = 1

Ou seja, colocando na terceira equação, achamos que β = 2

Logo, temos que B = β , 2 , β =   2 , 2 , 2 = a , b , c → a + b + c = 6

E aqui termina nossa questão, vamos para a próxima?

Resposta

Letra E

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