Considere as retas e

a) Escreva equações paramétricas para a reta .

b) Mostre que e são concorrentes.

c) Escreva equações paramétricas para a reta que corta e perpendicularmente.

Ok, precisamos de um ponto pertencente à reta para encontrarmos sua equação paramétrica. Pra isso, vamos atribuir um valor qualquer a para aí encontrarmos os valores de e .

Se atribuirmos (novamente, você que escolhe o valor :P):

Da expressão teremos que

E da expressão teremos que

O ponto nós já temos, agora só falta o vetor diretor.

Atribuindo (sendo que esse 1 vem do ponto que encontramos no passo anterior) e substituindo, respectivamente, em e :

Logo, a equação paramétrica de vai ser

Sendo que o vetor diretor de é

b) Pra que as duas retas sejam concorrentes, elas devem ter um ponto de intersecção, ou seja, tem que existir algum ponto onde , e são iguais, assim:

Da expressão , a gente chega que

Substituindo na expressão , temos que , então o também vale 1 certo?

Substituindo e na expressão , chegamos que , o que é verdadeiro, logo, esse sistema possui solução e então e de fato possuem um ponto de intersecção :D

Pra encontrar esse ponto de encontro é só substituir ou na equação de qualquer uma das retas, o ponto encontrado vai ser .

c) Ta, antes de qualquer coisa, vamos ver a figura abaixo

Aqui é a reta preta, é a reta roxa e o ponto é o ponto que encontramos no item anterior.

Pra uma reta cortar e ao mesmo tempo de maneira perpendicular, ela precisa necessariamente passar pelo ponto .

Além disso, o vetor diretor de vai ser o produto vetorial do vetor diretor de com o vetor diretor de , isso porque esse produto vetorial com certeza vai ser perpendicular às retas, e isso é o que queremos ;)

Sabemos que o vetor diretor de é enquanto o de é .

Bora fazer o produto vetorial deles pra encontrar o vetor diretor de :

Então, o vetor diretor de vai ser

Sabendo que passa pelo ponto e sabendo seu vetor diretor, podemos escrever sua reta paramétrica:

O desenho fica assim (sendo a reta verde)