Exercícios Resolvidos de Propriedades do Produto Interno

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Enunciado

Considere as afirmativas:

(I) Existem vetores e em tais que e

(II) Quaisquer que sejam os vetores e em ,

(a) (I) é falsa e (II) é falsa.

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

Passo 1

(I) Pra verificar essa afirmativa, vamos precisar relacionar o módulo de dois vetores e o produto interno entre eles.

Mas felizmente a gente tem uma fórmula que faz isso!

onde é o ângulo entre os vetores e

Beleza, vamos substituir o que foi dito na afirmativa e ver o que acontece.

Opa, mas isso não é possível, pois

Então essa afirmativa é falsa.

Passo 2

(II)

Vamos elevar os dois lados dessa expressão ao quadrado:

Expandindo o lado direito:

Mas:

Substituindo na equação:

Simplificando os termos:

Multiplicando essa expressão por

O que é verdadeiro, pois:

E como discutimos antes:

Resposta

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

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Em relação ao produto interno do Exemplo de 8.3.2 calcule x de modo que o ângulo entre 1 - 1 2 1 e 1 - 1 2 x tenha uma medida de 90 ° .

Seja β = { 1,2 , ( 2,1 ) } . Use o processo de Gram-Schmidt para achar uma base ortonormal β ' de R 2 em relação ao produto interno usual.

Seja V = R 2 . Sejam v 1 = ( x 1 , y 1 ) e v 2 = x 2 , y 2 . Se f v 1 ,v 2 = 2 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + y 1 y 2 , mostre que f é um produto interno.

Considere em R 3 o produto internox , y , z , x ' , y ' , z ' = x x ' + 5 y y ' + 2 z z ' Verifique se realmente é um produto interno.A partir da base { 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , ( 0,0 , 1 ) } ache uma base

Seja V = R 3 e S = { 1,0 , 1 , 1,1 , 0 , ( 2,1 , 1 ) } .Encontre S ⊥ .Encontre uma base ortogonal para S e S ⊥ .Se S fosse [ 1,0 , 1 , 1,1 , 0 , 2,1 , 1 ] , qual seria S ⊥ ? Neste caso, encontre uma b