No espaço vetorial , dizemos que uma transformação linear é positiva definida se, para todo vetor não nulo, tem-se .
Mostre que se é positiva definida e são vetores não nulos tais que , então é linearmente independente. (Dica: Escreva as hipóteses e tente verificar a definição de ser linearmente independente).
Passo 1
Para que e sejam linearmente independentes, precisamos que a igualdade
seja satisfeita apenas se . Para isso, vamos aplicar o produto interno dos dois lados com o vetor .
Mas, por hipótese sabemos que . Aplicando isso:
Mas como é positiva definida sabemos que , logo o único jeito do produto acima dar zero é com .
Passo 2
Sabendo que , vamos voltar para nossa primeira equação.
Aplicando que :
Mas como sabemos que é não nulo, o único jeito desse produto dar zero é com . E se e então é .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)