Seja espaço vetorial real com um certo produto interno dado, tal que é uma base ortonormal com relação a este .
- Seja e . Calcule .
- Determine a expressão deste produto interno, .
Passo 1
Letra a)
Posso escrever os vetores e na base :
Sendo e ,
Agora conseguimos utilizar a linearidade do produto interno para chegar ao produto interno entre eles :
Se e formam uma base ortonormal, sabemos duas coisas sobre eles:
- O produto interno entre eles é igual a zero
- O modulo de cada um deles é igual a 1, como ,
Assim podemos substituir os valores dos produtos internos na expressão acima:
Passo 2
Agora é só achar os valores dos coeficientes e :
Substituindo o valor de em função de na primeira equação, achamos que e
Substituindo o valor que achamos para em função de na segunda equação, descobrimos que e .
Pronto, agora é só relembrar a expressão que achamos ali em cima e aplicar os valores que achamos!
Passo 3
Letra b)
Aqui na letra b vamos usar o mesmo raciocínio da letra a. Repara que calculamos o produto interno (pela linearidade) considerando esses vetores como dois vetores genéricos na base e depois substituímos os valores.
Assim, essa equação que achamos também vale aqui:
Tá, beleza, mas o que essas letras representam mesmo? São os coeficientes da combinação linear que fizemos para por nossos vetores na base
Como fomos nós que inventamos essas letras, não podemos deixar elas na nossa resposta, assim, temos que tentar colocá-las em função de outros termos.
Passo 4
Vamos fazer nossas combinações lineares:
Separando as equações de cada coeficiente:
Substituindo o valor de na segunda equação, achamos que e posteriormente, . Fazendo o mesmo para os valores de e , encontramos os seguintes valores: e.
Assim temos todos os valores que precisamos em função de termos que o enunciado forneceu. Agora é só botar tudo na expressão que achamos!!
Passo 5
Antes de terminar, repara nisso aqui:
Se eu fizer o produto interno usual do olha o que eu vou achar:
Mas eu já tinha achado que:
Então eu consigo concluir que se eu quero achar um produto interno que não sei a expressão e tenho uma base ortonormal posso usar isso:
Ou seja, é só calcular o produto interno usual do dos dois vetores na base ortonormal.