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Exercícios Resolvidos de Propriedades do Produto Interno

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Enunciado

UFRJ, P3-2019.1

Considere o produto interno no espaço de polinômios de grau menor ou igual a 2 definido por

p . q = p - 1 q - 1 + p 0 q 0 + p 1 q 1

Assinale um polinômio ortogonal a p x = x 2 + x + 1 :

  1. q x = 5 x 2 - 3 x + 7
  2. q x = 3 x 2 + 4 x + 11
  3. q x = 7 x 2 - 4 x - 4
  4. q x = 13 x 2 - 8 x - 2

Passo 1

Show de belezeras galera, a definição de vetores ortogonais, diz que o produto interno entre esses vetores, sempre vai resultar em 0 . A mesma coisa serve para os nossos polinômios, então dado o produto interno entre polinômios:

p . q = p - 1 q - 1 + p 0 q 0 + p 1 q 1

O polinômio ortogonal a p x = x 2 + x + 1   vai ser aquele cujo resultado desse produto interno for 0 .

A gente poderia encontrar esse polinômio q x na força do ódio, MAAASSS a gente é treinado na malandragem e forjado de pura malicia e sagacidade. Por esse motivo, podemos apenas testar os vetores da questão, e aquele que o produto interno resultar em 0 , será o nosso abençoado. Bora lá.

Passo 2

Na letra (a), o polinômio dado é q x = 5 x 2 - 3 x + 7 , então encontrando os valores respectivos, temos:

p - 1 = - 1 2 - 1 + 1 = 1 ,     q - 1 = 5 - 1 2 - 3 - 1 + 7 = 16

p 0 = 0 2 + 0 + 1 = 1 ,     q 0 = 5 0 2 - 3 0 + 7 = 7

p 1 = 1 2 + 1 + 1 = 3 ,     q 1 = 5 1 2 - 3 1 + 7 = 9

Logo nosso produto interno fica assim:

p . q = p - 1 q - 1 + p 0 q 0 + p 1 q 1

p . q = 16 1 + 7 1 + 9 3

p . q = 50

p . q ≠ 0

Não é nosso contemplado!

Passo 3

Na letra (b), temos o polinômio q x = 3 x 2 + 4 x + 11 , então:

q - 1 = 3 - 1 2 + 4 - 1 + 11 = 10

    q 0 = 3 0 2 + 4 0 + 11 = 1 1

q 1 = 3 1 2 + 4 1 + 11 = 1 8

Logo nosso produto interno fica assim:

p . q = p - 1 q - 1 + p 0 q 0 + p 1 q 1

p . q = 1 0 1 + 11 1 + 18 3

p . q = 75

p . q ≠ 0

Portanto, esse também não é o nosso iluminado.

Passo 4

Na letra (b), temos o polinômio q x = 7 x 2 - 4 x - 4 , então:

q - 1 = 7 - 1 2 - 4 - 1 - 4 = 7

    q 0 = 7 0 2 - 4 0 - 4 = - 4

q 1 = 7 1 2 - 4 1 - 4 = - 1

Logo nosso produto interno fica assim:

p . q = p - 1 q - 1 + p 0 q 0 + p 1 q 1

p . q = 7 1 - 4 1 - 1 3

p . q = 0

E olha ele aí, no consagrado. Então quer dizer que o polinômio ortogonal a p x = x 2 + x + 1 é:

q x = 7 x 2 - 4 x - 4

Reposta certa, letra (c).

Resposta

Letra (c).

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