Num espaço vetorial euclidiano, provar que u = v ⇔ u + v ,   u - v = 0 .

Passo 1

Beleza, queremos provar o seguinte:

u = v ⇔ u + v ,   u - v = 0

Vamos partir do lado direito da implicação, temos que:

u + v ,   u - v = 0

Pela linearidade de produto interno, podemos escrever isso como:

u , u - u , v + v , u - v , v = 0

Opa, sabemos que u , v = v , u (por propriedade de produto interno), então um cancela o outro nessa operação. A gente vai ficar apenas com:

u , u - v , v = 0

u , u = v , v

Como x , x = x 2 :

u 2 = v 2

Colocando raíz quadrada dos dois lados:

u = v

E ta provado :)

Resposta

Demonstração.

Exercícios Resolvidos de Propriedades do Produto Interno

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