Seja um conjunto ortogonal e . Mostre que

Conclua que se é um conjunto ortonormal, então para .

Agora que já entendemos o que significa o enunciado, vamos começar a provar. Lembre-se que existe um vetor qualquer ai dentro, que não sabemos em que lugar se encontra. Então vamos pegar:

E aplicar o produto interno dos dois lados, com esse vetor qualquer do conjunto :

Pelas propriedades do produto interno podemos separar o lado direito da equação acima em:

Ahhh, então como o conjunto é ORTOGONAL, ou seja, todos os vetores são ortogonais entre si, podemos zerar tudo! Opa, calma aí! Quase todos são ortogonais.

Lembre-se que você está fazendo o produto interno com um dos vetores do próprio conjunto! Como não é ortogonal com , afinal são o mesmo vetor, o produto interno deles dá diferente zero. E mais! Ele é . Assim nossa expressão se resume à:

Agora só falta ver o que acontece se o conjunto for ortonormal. Ahh então vamos ter que provar tudo de novo? Não seria necessário; a única diferença é que além dos vetores serem ortogonais, agora eles também são unitários, ou seja, têm norma igual a .

Logo, . E assim:

Uma observação importante. O que exatamente acabamos de provar? Significa que se temos uma base ortogonal para , por exemplo, podemos escrever qualquer vetor como dos vetores da base SÓ QUE com os coeficientes:

Assim, podemos escrever como:

Essa relação vale sempre para bases ortogonais! Se for ortonormal, só botar o módulo igual a 1. XD