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Exercícios Resolvidos de Propriedades do Produto Interno

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Enunciado

UFRJ, Álgebra Linear, P4 – 2017.1, Questão 10

Sejam u → e v → vetores unitários do R n .

I   -   2 u → - v → é necessariamente menor do que 2 u → + v →

I I   - Se u → e v →   são ortogonais, então 2 u → - v → = 2 u → + v →

(a) Ambas são falsas

(b) Ambas são verdadeiras

(c) I é falsa e I I é verdadeira

(d) I é verdadeira e   I I é falsa

Passo 1

Queremos, primeiramente, saber se 2 u → - v → é sempre menor que 2 u → + v → . Vamos usar que w = w , w :

2 u → - v → 2 = 2 u → - v → , 2 u → - v →

Pela linearidade do produto interno, posso desmembrar isso aí:

2 u → - v → , 2 u → - v → = 4 u → , u → - 2 u → , v → - 2 u → , v → + v → , v →

Como no enunciado ele fala que os vetores são unitários, u → , u → = 1 e v → , v → = 1 .

2 u → - v → 2 = 5 - 4 u → , v →

Agora vamos fazer o mesmo para   2 u → + v → :

2 u → + v → 2 = 2 u → + v → , 2 u → + v →

Pela linearidade do produto interno:

2 u → + v → , 2 u → + v → = 4 u �� , u → + 2 u → , v → + 2 u → , v → + v → , v →

Como no enunciado ele fala que os vetores são unitários, u → , u → = 1 e v → , v → = 1 .

2 u → + v → 2 = 5 + 4 u → , v →

Passo 2

Ele quer saber se isso é sempre verdade:

2 u → - v → < 2 u → + v →

O que faria isso aqui ter que ser verdade também:

2 u → - v → 2 < 2 u → + v → 2

5 - 4 u → , v → < 5 + 4 u → , v →

5 - 4 u → , v → < 5 + 4 u → , v →

8 u → , v → > 0

Ou seja, isso só vai ser verdade quando o produto interno entre os vetores for maior que zero. Como ele nunca vai ser menor que zero, vai ser falso apenas quando o produto interno for zero, ou seja, quando forem ortogonais!

Logo a afirmativa é falsa!

Passo 3

Agora ele fala que se forem ortogonais 2 u → - v → = 2 u → + v → , vamos fazer o mesmo que fizemos ali em cima:

2 u → - v → 2 = 2 u → + v → 2

5 - 4 u → , v → = 5 + 4 u → , v →

Como são ortogonais u → , v → = 0

5 = 5

Como isso é sempre verdade, essa alternativa é verdadeira.

Resposta

c

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