Seja uma matriz real com colunas.
(I) Se , então a i-ésima entrada da j-ésima coluna de B é .
(II) para todo .
(a) (I) e (II) são verdadeiras.
(b) (I) e (II) são falsas.
(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.
(d) (I) é falsa e (II) é verdadeira.
Passo 1
(I) Vamos fazer esse produto que tá falando na afirmação.
Lembrando que a matriz transposta de A, é simplesmente a gente pegar as colunas de A e colocar como se fossem linhas.
Como a matriz A dada tem vetores nas colunas, o produto fica o seguinte:
E aí lembra da regrinha pra fazer multiplicação de matrizes!!
A gente pega cada linha da primeira matriz, multiplica as respectivas entradas pela coluna correspondente da segunda matriz, e soma todo mundo!
E isso de multiplicar entradas e somar todo mundo lembra aquela história de produto interno né?
Porque:
Então o que a gente tem é:
Em outras palavras, o elemento da i-ésima linha e da j-ésima coluna é:
Por isso a afirmação (I) é verdadeira!
Passo 2
(II) Pra ficar mais fácil de analisar esse item, vamos dar valores às coisas.
Vamos pegar a matriz:
E os vetores:
Primeiro vamos calcular:
Mas antes vamos ver quem é esse cara .
Beleza, agora vamos fazer o produto interno desse resultado com o vetor que a gente escolheu.
Agora vamos guardar esse resultado e ver o outro lado da igualdade que a questão deu pra gente, que é:
Vamos calcular
Agora vamos fazer o produto interno com :
E repara que deu o mesmo resultado!
Como a gente fez isso pra uma matriz A aleatória e vetores x e y quaisquer, então vamos dizer que a afirmação (II) é verdadeira também.
Resposta
(a) (I) e (II) são verdadeiras.