Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Propriedades do Produto Interno

Ver Teoria
Exercício 912345678101112131415161718192021222324252627

Enunciado

A3 T5

Sejam v , w vetores tais que v = w = 1 . Considere as afirmativas:

  1. v + w e v - w são ortogonais.
  2. É possível que v + w = v - w = 1

a   I e II são verdadeiras.

b   I é verdadeira e II é falsa

c   I é falsa e II é verdadeira

d   I e II são falsas.

Passo 1

Afirmativa I:

Para ver se os vetores são ortogonais, basta fazer o produto interno entre eles:

v + w , v - w = 0 ⇒

Usando as propriedades do produto interno:

v + w , v + v + w , - w = 0 ⇒

v , v + w , v + v , - w + w , - w = 0 ⇒

v , v + w , v - v , w - w , w = 0

Como sabemos que o produto interno de um vetor com ele mesmo é o módulo dele ao quadrado e que o produto interno é comutativo:

1 + w , v - w , v - 1 = 0 ⇒ 0 = 0

E assim vemos que eles são de fato ortogonais e, portanto, a afirmativa é verdadeira.

Passo 2

Afirmativa II:

Se v + w = v - w = 1 , então:

v + w 2 = v - w 2 = 1 2 = 1

Agora vamos desenvolver primeiro v + w 2 = 1 .

v + w 2 = v + w , v + w = 1 ⇒

v + w , v + v + w , w = 1 ⇒

v , v + w , v + v , w + w , w = 1 ⇒

1 + 2 w , v + 1 = 1 ⇒

w , v = - 1 2

Passo 3

Vamos desenvolver agora v - w 2 = 1 :

v - w 2 = v - w , v - w = 1 ⇒

v - w , v + v - w , - w = 1 ⇒

v , v + - w , v + v , - w + - w , - w = 1 ⇒

1 - 2 w , v + 1 = 1 ⇒

w , v = 1 2

Logo vimos que para v + w = 1 temos uma condição e para v - w = 1 temos uma outra condição! Assim, se quiséssemos que ambos os vetores v + w e v - w tenham módulos igual a 1 ,não necessariamente ao mesmo tempo, seria verdade.

Mas o que o exercício nos pede é que o módulo dos dois seja igual a 1 ao mesmo tempo ( v + w = v - w = 1 ) , o que seria impossível, pois para cada um deles serem iguais a 1 precisam de duas condições diferentes e, portanto, ⟨ v , w ⟩ não podem assumir dois valores ao mesmo tempo, logo é um absurdo.

Resposta

Letra ( b )

Exercícios de Livros Relacionados

Em relação ao produto interno do Exemplo de 8.3.2 calcule x de modo que o ângulo entre 1 - 1 2 1 e 1 - 1 2 x tenha uma medida de 90 ° .
Seja β = { 1,2 , ( 2,1 ) } . Use o processo de Gram-Schmidt para achar uma base ortonormal β ' de R 2 em relação ao produto interno usual.
Seja V = R 2 . Sejam v 1 = ( x 1 , y 1 ) e v 2 = x 2 , y 2 . Se f v 1 ,v 2 = 2 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + y 1 y 2 , mostre que f é um produto interno.
Considere em R 3 o produto internox , y , z , x ' , y ' , z ' = x x ' + 5 y y ' + 2 z z ' Verifique se realmente é um produto interno.A partir da base { 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , ( 0,0 , 1 ) } ache uma base
Seja V = R 3 e S = { 1,0 , 1 , 1,1 , 0 , ( 2,1 , 1 ) } .Encontre S ⊥ .Encontre uma base ortogonal para S e S ⊥ .Se S fosse [ 1,0 , 1 , 1,1 , 0 , 2,1 , 1 ] , qual seria S ⊥ ? Neste caso, encontre uma b