UFPE, Álgebra Linear, 3 a EE -2017.2, Questão 2a
a) Mostre que em todo espaço vetorial com , se é uma base ortonormal de então temos
Passo 1
O vetor vai ser um vetor qualquer de , logo pode ser escrito como uma dos vetores da base:
Agora vamos calcular a norma dele ao quadrado e tentar achar isso aí do enunciado!
Passo 2
Bom, agora vamos analisar o que temos:
Vou substituir:
Pela linearidade, posso separar esse produto interno:
Como é ortonormal, o produto interno dos vetores com eles mesmos vai ser 1 e entre si vai ser 0:
Passo 3
Beleza, agora temos que provar que é o mesmo que .
Vamos ver como seria :
Logo,
Usando o mesmo raciocínio, podemos provar que e . Juntando tudo, provamos que realmente:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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Em relação ao produto interno do Exemplo de 8.3.2 calcule x de modo que o ângulo entre 1 - 1 2 1 e 1 - 1 2 x tenha uma medida de 90 ° .
Seja β = { 1,2 , ( 2,1 ) } . Use o processo de Gram-Schmidt para achar uma base ortonormal β ' de R 2 em relação ao produto interno usual.
Seja V = R 2 . Sejam v 1 = ( x 1 , y 1 ) e v 2 = x 2 , y 2 . Se f v 1 ,v 2 = 2 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + y 1 y 2 , mostre que f é um produto interno.
Considere em R 3 o produto internox , y , z , x ' , y ' , z ' = x x ' + 5 y y ' + 2 z z ' Verifique se realmente é um produto interno.A partir da base { 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , ( 0,0 , 1 ) } ache uma base
Seja V = R 3 e S = { 1,0 , 1 , 1,1 , 0 , ( 2,1 , 1 ) } .Encontre S ⊥ .Encontre uma base ortogonal para S e S ⊥ .Se S fosse [ 1,0 , 1 , 1,1 , 0 , 2,1 , 1 ] , qual seria S ⊥ ? Neste caso, encontre uma b