UFRJ, P3-2019.1
Seja um conjunto de vetores dois a dois ortogonais:
- é ortogonal a
- é ortogonal a
- I é verdadeira e II é falsa.
- Ambas são falsas.
- I é falsa e II é verdadeira.
- Ambas são verdadeiras.
Passo 1
Xuxu beleza galerinha, sabemos que o conjunto de vetores é ortogonal dois a dois, ou seja, o produto interno entre os vetores é igual a :
Então para a afirmativa (I), queremos saber se é ortogonal a , isto é, se o produto ortogonal desses vetores também é igual a :
E o segredo aqui é que a gente pode distribuir esse produto, saca só, primeiro para :
E agora distribuindo , temos:
Só que a gente viu, que esses produtos internos, dois a dois, resultam em , portanto:
E dessa forma os vetores e são ortogonais. Afirmativa (I), verdadeira.
Passo 2
Belezoca, agora queremos saber se é ortogonal a , é bem parecido a afirmativa (I), a não ser que agora temos o sinal de entre os vetores.
Isso quer dizer que a gente pode repetir o mesmo processo pra testar a ortogonalidade entre os vetores. Saca só, o produto interno entre eles deve ser igual a :
E aqui a gente pode distribuir esse produto, saca só, primeiro para :
E agora distribuindo , temos:
Só que a gente viu, que esses produtos internos, dois a dois, resultam em , portanto:
Logo, nossas duas afirmativas estão corretas, e a alternativa certa é a letra (d).
Resposta
Letra (d).