UFCG. Cálculo 1. Lista 2 – Derivadas. Questão 8.
8 - Determine a equação da reta que é perpendicular à reta e tangente ao gráfico de .
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nesse problema temos uma função e queremos encontrar uma reta tangente a essa função que seja perpendicular à reta .
Como vamos encontrar essa reta? 🤔
Dada a reta uma outra reta é perpendicular se seu coeficiente angular for oposto e inverso, ou seja, .
Podemos encontrar a função tangente a derivando e igualando a vamos encontras os valores para que satisfazem nossa reta.
Substituindo em encontramos a imagem do ponto e por último encontramos substituindo pela imagem.
Deu pra entender? 👀
Passo 2
Primeiro vamos reescrever a equação da reta em seu modo reduzido
Isolando o , temos
Assim, vemos que então a reta perpendicular a ela deve ter
Logo a equação da reta tangente a deve ter a seguinte cara
E agora, o que nos resta, é encontrar o valor de . Pra isso, vamos derivar a função e encontrar os valores de em que o coeficiente angular é igual a .
A derivada de uma função não nos dá a reta tangente a essa função? Portanto substituindo por um valor, o resultado é o coeficiente angular da reta tangente a aquele ponto!
O que vamos fazer é esse método ao contrário.
Derivando pelo método de derivação polinomial multiplicando a variável pela sua potência e subtraindo do expoente, temos
Igualando a , ou seja, a ...
Isso que encontramos é o ponto de que a reta tangente satisfaz nossos requisitos.
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 3
Agora temos que substituir em para encontrar a imagem desse ponto.
Você concorda que essa imagem também pertence a reta tangente ?
Portanto, substituindo por , temos
Mas nesse ponto é , não é?
Portanto, é igual a
Com isso, encontramos a reta tangente que queríamos e ela é dada por
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌