Regras de Derivação II
Sejam e constantes e dada por:
Encontre os valores de e para que seja derivável em .
Com os valores de e do item , encontre o ponto do gráfico de onde a reta tangente é paralela à reta .
Passo 1
Para que ela seja derivável em a definição de derivada deve valer, ou seja:
Só que para que ela seja derivável ela precisa ser contínua também. Isso pede essa equação aqui também:
De acordo com a existência de temos que o limite com será igual a já que esse domínio é válido para maior ou igual a . Assim:
Passo 2
Temos um sistema a ser resolvido:
(Posso abrir em . Corto com o por baixo, fica só. Já o é igual a , que também pode cortar com abaixo)
Bom, já temos . Pela segunda equação, . Terminamos aqui!
Passo 3
Desejamos descobrir onde a reta tangente ao gráfico é paralela a . Sabemos que retas paralelas tem a mesma inclinação, o que corresponde a mesmo coeficiente angular, no caso é . Agora, levando em conta que uma reta tangente a um gráfico tem coeficiente angular dado pela derivada no ponto em questão, procuramos o cuja derivada vale , sim?
A função derivada seria assim:
Como vemos, a derivada antes de é sempre . Nesse intervalo ela nunca será , né? Bom, no outro pedaço nós temos . Quando essa derivada vale 18, fica assim:
é , o que garante que esse ponto existe no intervalo onde a derivada vale (intervalo ). Assim, achamos nosso ponto, onde
O ponto é .