Exercícios Resolvidos de Retas Paralelas e Perpendiculares

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Enunciado

4. Determine a reta que é tangente ao gráfico de f x = x 4 e paralela à reta y = 4 x + 3 .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos probleminha onde precisamos encontrar a reta tangente a um gráfico.

Para quem não lembra a equação da reta tangente a um ponto qualquer é dada por:

y - y 0 = y ' x 0 x - x 0

Onde x 0   e y 0 são as coordenadas do ponto que a reta tangente passa e y ' x 0 é a derivada nesse ponto.

Então, galerinha, vamos começar achando essa derivada. Bora lá!

Passo 2

Derivando a nossa função temos:

y = x 4

Aplicando a derivada do polinômio ficamos com,

y ' = 4 x 3

Montando a equação da reta tangente de forma genérica ficamos com,

y - y 0 = 4 x 0 3 x - x 0

Mas a questão não quer uma equação genérica, ela quer a reta que é paralela a reta y = 4 x + 3 . E para isso, vamos ter que descobrir quem são: x 0 e y 0 .

Passo 3

Então, galerinha, duas retas paralelas possuem o mesmo coeficiente angular. Ou seja, olhando para as duas equação temos que:

4 x 0 3 = 4

Logo,

x 0 = 1

Para achar y 0 precisamos substituir esse valor na nossa função:

y 0 = 1 4

y 0 = 1

Agora que achamos quem são x 0 e y 0 , podemos voltar para a nossa equação da reta tangente.

Passo 4

Substituindo tudo na nossa equação genérica, ficamos com

y - 1 = 4 1 3 x - 1

y - 1 = 4 x - 4

y = 4 x - 3

Prontinho!

Resposta

y = 4 x - 3

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