Encontre uma equação para a reta tangente à curva y = x^3 - 3x que seja perpendicular à reta 2x + 18y - 9 = 0 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... queremos descobrir a equação da reta tangente à curva y = x 3 - 3 x de tal forma que esta seja perpendicular a seguinte reta rearranjada:

2 x + 18 y - 9 = 0 ∴

y = - 2 x + 9 18

Para isso, precisamos primeiramente descobrir qual é o coeficiente angular da segunda reta.

A partir disso devemos analisar o seu inverso e oposto e aplicar na derivada da primeira equação!

Para isso, temos que ter em mente que a equação de uma reta é dada por:

y = m x + b

Onde m é o coeficiente angular da reta.

E aí? Bora lá?

😉

Passo 2

Então... comparando a equação y = - 2 x + 9 18 com a fórmula da equação da reta, vemos que o nosso coeficiente angular é:

m = - 2 18 = - 1 9

Assim, seu inverso e oposto é:

m ' = 9

Agora vamos aplicar a derivada na equação da curva para descobrirmos a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva:

d d x x 3 - 3 x = 3 x 2 - 3

Assim, como queremos encontrar o ponto no qual a tangente tem a mesma inclinação, então igualamos:

f ' x = m ' ∴

3 x 2 - 3 = 9 ∴

x = ± 2

E, avaliando a função original nesse ponto, temos o valor de y correspondente:

y = ± 2 3 - 3 ± 2 ∴

y = ± 2

Portanto, os 2 , 2 e - 2 , - 2 são os pontos em que a reta apresenta inclinação oposta (ou seja, perpendicular).

Passo 3

Agora podemos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta para encontrar a equação da reta tangente, que é dada por:

y - y 0 = m x - x 0

Assim, para o primeiro ponto, temos:

y - 2 = 9 x - 2 ∴

y = 9 x - 16

E, para o segundo ponto, temos:

y - - 2 = 9 x - - 2 ∴

y = 9 x + 16

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

y = 9 x - 16

y = 9 x + 16

Exercícios Resolvidos de Retas Paralelas e Perpendiculares

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