UFCG; Cálculo 1; Lista-2; Derivadas; questão 4b
Determine a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico da função a seguir e paralelas a reta abaixo
Passo 1
Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Nosso objetivo é encontrar as retas tangentes ao gráfico de e que são paralelas a reta . Vocês lembram da definição da reta tangente ao gráfico? Vamos revisar!
a reta tangente ao gráfico da função no ponto é dada por:
Ou seja, ela depende da derivada de . O que faz sentido, já que a derivada de uma função da a inclinação da reta tangente ao gráfico dessa função.
Mas a questão pede que a nossa reta tangente seja paralela a outra reta. Como levamos em consideração essa restrição? Para isso precisamos perceber que se duas retas são paralelas, então ela tem a mesma inclinação, isto é, tem o mesmo coeficiente angular. Isso quer dizer que se o coeficiente angular da reta for então
Ou seja, o coeficiente angular da nossa reta tangente também é . E para isso, teremos que descobrir qual o valor de que satisfaz a equação acima.
Com isso em mente, vamos calcular a nossa reta de interesse:
Passo 2
Nosso objetivo é encontrar as retas tangentes ao gráfico de e que são paralelas a reta . A nossa função e reta estão abaixo.
Vimos no passo anterior que para a reta tangente ser paralela a reta elas precisavam ter o mesmo coeficiente angular. Vamos começar calculando o coeficiente angular da reta . Vamos reescrever a reta na forma
Pois nessa forma, o coeficiente angular da reta é o termo que multiplica . Então temos que:
Logo o coeficiente angular da reta é .
Agora, precisamos calcular o coeficiente da reta tangente a em um ponto . Lembrando que a reta é dada por:
E seu coeficiente angular é . Vamos começar calculando a derivada de . Como
Usando a regra da derivada de função polinomial, temos que:
então, pela regra e pela linearidade da derivada, temos que
Ou seja, o coeficiente angular de qualquer reta tangente ao gráfico de no ponto é dada por
Bacana né?
Passo 3
Descobrimos que o coeficiente angular da reta
é
E que o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de em um ponto é dada por
Mas o enunciado pede que a nossa reta tangente seja paralela a reta , e comentamos no passo 1 que isso só acontece se elas tiverem o mesmo coeficiente angular, isto é se
Geralmente achar as raízes de um polinômio de grau é complicado, mas já podemos observar que é raiz desse polinômio, então podemos reescrever da seguinte forma:
Ou seja, temos raízes reais para esse polinômio, isso quer dizer que as retas tangentes que passa pelos pontos são paralelas a reta . Vamos calcular essas retas.
Passo 4
Passo 5
Passo 6
Passo 7
No passo anterior, descobrimos que as retas tangentes que passam pelos pontos , são paralelas a reta . Vamos começar obtendo a reta tangente que passa por . Lembrando que a equação da reta tangente é:
e que
Substituindo , temos:
Isolando , obtemos
Calculando a reta tangente que passa por
Isolando , obtemos
Então as retas tangentes ao gráfico de , e paralelas a reta são as retas
Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊