Exercícios Resolvidos de Teorema de Bayes

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Enunciado

Admita que, em determinada localidade, se um trabalhador do comércio ficar desempregado, a probabilidade de que ele consiga um novo emprego similar dentro de 6 meses é de 0,6. Caso contrário (com probabilidade 0,4), ele abre seu próprio negócio. Sabe-se também que, tendo conseguido um novo emprego assalariado, em 5% das vezes sua família troca as crianças de colégio. Já os que montam seu próprio negócio trocam suas crianças de colégio em 15% das vezes. Se neste local for selecionado um trabalhador do comércio recém-desempregado:

a)Qual a probabilidade de que suas crianças mudem de escola?

b)Dado que as crianças de fato trocaram de escola, qual a probabilidade de que ele tenha conseguido um novo emprego?

Passo 1

Hum... Achou confuso? Vamos fazer um diagrama pra ajudar a compreensão?

Passo 2

Vamos completar esse diagrama com as probabilidades dadas no enunciada (Tanto as ditas quanto as implícitas!). Ué, como assim?

Bom, se ele fala que a probabilidade de trocar de escola quando se consegue um emprego é de 5%, ele também está falando que a probabilidade não trocar de escola quando se consegue um emprego é 1 - 0,05 = 0,95 .

Entendeu? Temos que olhar sempre o complementar...

Passo 3

Agora com nosso diagrama já completinho vamos ver o que ele pede...

a)

Queremos saber a probabidade de que suas crianças mudem de escola. Ou seja,

P T

Sabemos que

P T = P E ∩ T + P ( E - ∩ T )

Passo 4

Utilizando o Teorema da Probabilidade Total temos que:

P T = P T E × P E + P T E - × P ( E - )

Substituindo:

P T = 0,05 × 0,6 + 0,15 × 0,4 = 0,09

Passo 5

b)Dado que as crianças de fato trocaram de escola, qual a probabilidade de que ele tenha conseguido um novo emprego?

Epa! Atenção!!! Ele está falando/afirmando que as crianças trocaram de escola. Sabendo disso queremos a probabilidade dele ter conseguindo um novo emprego, ou seja:

P E T =   ?

Pela fórmula da probabilidade condicional, teremos:

P E T = P E ∩ T P T

Passo 6

Pelo Teorema de Bayer:

P E ∩ T = P T E . P E

Assim

P E T = P T E . P E P T

Substituindo:

P E T = 0,05 × 0,6 0,09 = 1 3

Resposta

a) 0,09

b) 1 3

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