Em uma determinada fábrica constatou-se em registros passados, que uma determinada máquina para a produção de parafusos funciona corretamente 97 % do tempo. Se a máquina não está funcionando corretamente, 5 % dos parafusos produzidos são defeituosos, e quando a máquina estiver trabalhando corretamente, apenas 0,3 % dos parafusos são defeituosos. Pede-se:

  1. Se um parafuso é escolhido aleatoriamente, qual é a probabilidade de que ele não esteja defeituoso?
  2. Uma vez que o parafuso não esteja defeituoso, qual é a probabilidade de que este pertence a máquina que esteja funcionando corretamente.

Observação: utilize o teorema de Bayes.

Passo 1

Provavelmente o Teorema de Boyes seja o mais indicado para nos ajudar a resolver nosso problema. Vale a pena lembrarmos dele. Então segue que

Pr ⁡ B i A = Pr ⁡ B i ∩ A Pr ⁡ A = Pr ⁡ B i ∩ A ∑ j = 1 k Pr ⁡ A B j Pr ⁡ B j = Pr ⁡ A B i Pr ⁡ B i ∑ j = 1 k Pr ⁡ A B j Pr ⁡ B j

Passo 2

Vamos iniciar nosso problema fazendo um diagrama de árvore, que nos permite visualizar o problema de uma maneira mais direta e simples.

Assim vamos trabalhar da seguinte maneira. Temos duas classes de parafusos, Defeituosos (D) e Não Deteituosos (ND).

Assim se quiséssemos calcular a probabilidade de que uma parafuso não seja defeituoso, teríamos

P N D = P ( A ∩ N D ) ∪ P ( B ∩ N D )

Ou seja

P N D = P A ∩ N D + P ( B ∩ N D )

Que é a probabilidade de o Lado A produzir uma peça defeituosa mais a probabilidade do lado B produzir uma peça defeituosa.

Assim temos que

P N D = P A P N D A + P B P N D B

Que é a probabilidade de a maquina estar com defeito vezes a probabilidade dela não produzir uma peça seja defeituosa + a probabilidade dela não estar com defeito vezes a probabilidade dela não prodizir peça defeituosa (Basta ver que seguimos o caminho do diagrama).

Assim podemos finalmente calcular dizendo que

P N D = 0.03 ⋅ 0.95 + 0.97 ⋅ 0.997 = 0.9956

Passo 3

Agora vamos utilizar o teorema de Bayes para determinar qual é a probabilidade de que a maquina que esteja funcionando perfeitamente (B) pertença a classe (ND). Ou seja,

P B N D = P r ⁡ ( B ∩ N D ) P r ⁡ ( N D )

A probabilidade de a maquina com que funciona perfeitamente produzir peças ssem defeito dividido pela probabilidade de existir peças sem defeito no geral.

Interessante que acabamos de calcular P r ⁡ ( N D ) , assim só precisamos calcular a probabilidade de a maquina sem defeito produzir peças sem defeito.

Ou seja

P B ∩ N D = 0.97 ⋅ 0.997 = 0.9671

Assim temos que pelo Teorema de Bayes

P B N D = 0.9671 0.9956 = 0.9714

Resposta

  1. 0.9956
  2. 0.9714

Exercícios Resolvidos de Teorema de Bayes

Ver Teoria

Exercícios de Livros Relacionados

Está sendo testado um novo método analítico de detectar poluentes em água. Esse novo método de análise química é importante porque, se adotado, poderia ser usado para detectar três diferentes contamin
Suponha que P ( A | B ) = 0.4 , P ( A | B ' ) = 0.2 , P ( B ) = 0.8 . Determine P ( B | A ) .
Um inspetor, que trabalha para uma companhia de manufatura, tem uma chance de 99% de identificar corretamente itens defeituosos e uma chance de 0,5% de classificar incorretamente um item bom como send
Suponha que P ( A | B ) = 0.7 , P ( A ) = 0.5 e P ( B ) = 0.2 . Determine P ( B | A ) .
Suponha que temos duas urnas 1 e 2, cada uma com duas gavetas. A urna 1 contém uma moeda de ouro em uma gaveta e uma moeda de prata na outra gaveta; enquanto a urna 2 contém uma moeda de ouro em cada