Suponha que tenhamos 5 dados em uma caixa. 4 são balanceados, mas em um deles a probabilidade de ocorrer face “seis” é o quádrulo da probabilidade de ocorrer outra face. As faces restantes têm igual probabilidade de ocorrer. Um desses dados é selecionado ao acaso e é lançado. Qual é a probabilidade de esse dado ser balanceado se sair “seis”?
Passo 1
Primeiro vamos calcular qual a probabilidade de sortearmos um dado viciado. Temos 1 dado viciado entre 5 totais, então:
E a probabilidade de ser balanceado é a complementar disso:
Agora vamos analisar só o dado viciado e tentar descobrir qual a probabilidade da face “seis” ser sorteada, ou seja, a probabilidade da face ser “seis”, dado que o dado é viciado.
Vamos chamar a probabilidade de uma face diferente de “seis” ser sorteada de . O enunciado nos diz que a fase “seis” tem o quádrulo de chances de ser sorteada comparada as outras, então:
E nós sabemos que a soma das probabilidades de todas as faces tem que dar 1, então:
Onde cada desse é a probabilidade de uma das cinco faces restantes ocorrerem! Isso aí dá:
Então:
Passo 2
Agora vamos pensarno que foi perguntado. Concorda comigo que a questão tá querendo que a gente calcule uma parada já sabendo o que aconteceu no final, que foi ter saído uma face “seis”? Então vamos usar o Teorema de Bayes!
O que nós queremos é a probabilidade do dado ser balanceado dado que saiu “seis”, ou seja:
E pela fórmula do Teorema isso aí é igual a:
Lembrando que a probabilidade da face ser 6 é uma soma de probabilidades (pelo Teorema da Probabilidade total, lembra?):
Porque temos que considerar tanto a probabilidade disso acontecer para os dados balanceados como para o dado viciado! E isso aí dá:
Onde esse nada mais é que a probabilidade de um dado dar 6 sendo que ele é balanceado! Ou seja:
Agora substituindo tudo na fórmula do Teorema de Bayes temos: