Exercícios Resolvidos de Teorema de Bayes

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Enunciado

Suponha que tenhamos 5 dados em uma caixa. 4 são balanceados, mas em um deles a probabilidade de ocorrer face “seis” é o quádrulo da probabilidade de ocorrer outra face. As faces restantes têm igual probabilidade de ocorrer. Um desses dados é selecionado ao acaso e é lançado. Qual é a probabilidade de esse dado ser balanceado se sair “seis”?

Passo 1

Primeiro vamos calcular qual a probabilidade de sortearmos um dado viciado. Temos 1 dado viciado entre 5 totais, então:

P V = 1 5

E a probabilidade de ser balanceado é a complementar disso:

P B = 4 5

Agora vamos analisar só o dado viciado e tentar descobrir qual a probabilidade da face “seis” ser sorteada, ou seja, a probabilidade da face ser “seis”, dado que o dado é viciado.

Vamos chamar a probabilidade de uma face diferente de “seis” ser sorteada de p . O enunciado nos diz que a fase “seis” tem o quádrulo de chances de ser sorteada comparada as outras, então:

P F A C E = 6 | V = 4 p

E nós sabemos que a soma das probabilidades de todas as faces tem que dar 1, então:

4 p + p + p + p + p + p = 1

Onde cada p desse é a probabilidade de uma das cinco faces restantes ocorrerem! Isso aí dá:

9 p = 1 → p = 0,11

Então:

P F A C E = 6 | V = 4 p = 0,44 44

Passo 2

Agora vamos pensarno que foi perguntado. Concorda comigo que a questão tá querendo que a gente calcule uma parada já sabendo o que aconteceu no final, que foi ter saído uma face “seis”? Então vamos usar o Teorema de Bayes!

O que nós queremos é a probabilidade do dado ser balanceado dado que saiu “seis”, ou seja:

P ( B | F A C E   6 )

E pela fórmula do Teorema isso aí é igual a:

P ( B | F A C E = 6 ) = P F A C E = 6 B × P B P ( F A C E =   6 )

Lembrando que a probabilidade da face ser 6 é uma soma de probabilidades (pelo Teorema da Probabilidade total, lembra?):

P F A C E =   6 = P F A C E = 6 V × P V + P ( F A C E = 6 | B ) × P ( B )

Porque temos que considerar tanto a probabilidade disso acontecer para os dados balanceados como para o dado viciado! E isso aí dá:

P F A C E = 6 = 0,44 44 × 1 5 + 1 6 × 4 5 = 0,2213

Onde esse 1 6 nada mais é que a probabilidade de um dado dar 6 sendo que ele é balanceado! Ou seja:

P F A C E = 6 B = 1 6

Agora substituindo tudo na fórmula do Teorema de Bayes temos:

P B F A C E = 6 = 1 6 × 4 5 0,2213 = 0,60

Resposta

60 %

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