Probabilidade Total e Teorema de Bayes
Há três urnas numa sala. A urna possui bolas vermelhas e brancas; a urna possui bolas vermelhas e brancas; a urna possui bolas vermelhas e brancas. A urna é selecionada ao acaso e duas bolas são retiradas. Uma vez que as duas bolas são vermelhas, qual a probabilidade da urna ter sido selecionada?
Passo 1
Vamos dar uns nomes aqui pra criar um raciocínio bacana.
O exercício pede pra gente calcular:
Probabilidade da urna I ter sido escolhida sabendo que saíram duas vermelhas em sequência.
Passo 2
Vamos usar o teorema de Bayes.
Bayes é muito usado quando a gente já sabe uma coisa de frente (as duas bolas retiradas são vermelhas) e queremos saber algo que aconteceu antes (qual urna foi escolhida).
Passo 3
Tá, concorda comigo que a probabilidade de se escolher aleatoriamente qualquer uma das urnas é igual? E igual a ? Já que são urnas.
Então:
OK!
Passo 4
E qual seriam as probabilidades condicionais de saírem bolas vermelhas em sequência para cada uma das urnas?
Concordou? A Urna 1 tem bolas no total, sendo vermelhas. Então, na primeira retirada a gente tem bolas vermelhas em possíveis. Depois disso, passamos a ter bolas no total, sendo vermelhas, certo? Já que já retiramos bola vermelha. Aí a probabilidade de sair uma segunda vermelha seria em .
Se você pensar da mesma forma pra cada urna, você vai chegar em:
Chegou?
Passo 5
Com isso já temos a parte de cima ali do que a gente precisava, e já podemos calcular a probabilidade total de se retirar duas bolas vermelhas, usando o teorema da probabilidade total.
Passo 6
Agora podemos jogar tudo na fórmula inicial lá de cima:
Ou .