Exercícios Resolvidos de Teorema de Bayes

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Enunciado

Um trabalhador pediu a seu supervisor uma carta de recomendação para um novo emprego. Ele estima que há 80% de chances de que obtenha o trabalho se receber uma excelente (E) recomendação, 40% de chance se a recomendação for moderadamente boa (M), e 10% de chance se a recomendação for fraca (F). Pelo que o trabalhador conhece da avaliação do supervisor, ele ainda estima que as probabilidades da recomendação ser excelente(E), moderada(M) e fraca(F) são 70%, 20%, e 10%, respectivamente. Calcule a probabilidade:

(a) de que ele vá receber a oferta de trabalho (T);

(b) da recomendação ter sido Excelente, Moderada e Fraca dado que ele tenha recebido a oferta de trabalho;

(c) da recomendação ter sido Excelente, Moderada e Fraca dado que ele não tenha recebido a oferta de trabalho;

(d) As probabilidades originais de 70 % , 20 % , e 10 % , respectivamente estimadas para recomendação ser excelente(E), moderada(M) e fraca(F) foram alteradas nos itens (b) e (c) ora para mais, ora para menos em função do resultado que elas produziram. Como você explica a lógica destas modificações?

Passo 1

(a) Vamos começar entendendo quem são essas probabilidades que o enunciado dá pra gente.

Repara que ele diz que existe 80% de chance do trabalhador obter o trabalho se receber uma recomendação excelente, ou seja, a probabilidade do trabalhador ser contratado dado que a recomendação foi excelente é de 80%! E isso que é o que mesmo? Probabilidade condicional!

Então vamos usar a notação P T como a probabilidade do trabalhador ser contratado, e escrever todas as nossas condicionais:

P T E = 0,8

P T M = 0,4

P T F = 0,1

E o enunciado também dá pra gente a probabilidade dessa recomendação ser excelente, moderada ou fraca!

P E = 0,7

P M = 0,2

P F = 0,1

Passo 2

a) Concorda comigo que se a gente quisesse saber a probabilidade da recomendação ser excelente e do trabalhador ser contratado a gente teria que fazer P ( E ) × P ( T | E ) ?

Como a letra a) pede pra gente a probabilidade dele ser contratado sem restrições quanto a qualidade da recomendação, temos que fazer essa multiplicação pra todas as recomendações possíveis, não só a excelente! E depois somar todas elas. Assim ó:

P E × P T E + P M × P T M + P F × P T F

Substituindo os valores dessas probabilidades todas:

0,7 × 0,8 + 0,2 × 0,4 + 0,1 × 0,1 = 0,65 = 13 20

Passo 3

(b) Agora ele ta perguntando pra gente as probabilidades da recomendação ter sido excelente/moderada/fraca dado que ele foi contratado! Ou seja, essas condicionais aqui:

P E T =   P ( E ) ∩ P ( T ) P ( T )

P M T =   P ( M ) ∩ P ( T ) P ( T )

P ( F | T ) =   P ( F ) ∩ P ( T ) P ( T )

Vamos raciocinar um pouco sobre essas interseções na nossa fórmula. Vamos pegar, por exemplo, P ( E ) ∩ P ( T ) . A gente quer a probabilidade da recomendação ser excelente e do trabalhador ser contratado, ao mesmo tempo! E a gente calculou essa probabilidade no passo anterior, certo? É aquele P ( E ) × P ( T | E ) !

Vamos substituir isso aí na fórmula da condicional então, usando o mesmo raciocínio pros casos de recomendação moderada e fraca:

P E | T =   P ( E ) × P ( T | E ) P ( T ) = 0,7 × 0,8 0,65 = 56 65 ≈ 0,862

P M | T =   P ( M ) × P ( T | M ) P ( T ) = 0,2 × 0,4 0,65 = 8 65 ≈ 0,123

P F | T =   P ( F ) × P ( T | F ) P ( T ) = 0,1 × 0,1 0,65 = 1 65 ≈ 0,015

Passo 4

(c) Não conseguir a vaga é a mesma coisa que T C . Então, pelo Teorema de Bayes, podemos encontrar as probabilidades que o problema pede:

P E T C = P ( E ) × P ( T C | E ) P ( T C )

P M T C = P M × P T C M P T C

P F T C = P ( F ) × P ( T C | F ) P ( T C )

Onde

P T C E = 1 - P T E = 0,2

P T C M = 1 - P T M = 0,6

P T C F = 1 - P T F = 0,9

E P T C pode ser achado pelo resultado da letra (a):

P T C = 1 - P T = 1 - 0,65 = 0,35

Passo 5

Show de bola, agora é só substituir e partir pro abraço!

P E T C = P ( E ) × P ( T C | E ) P ( T C ) = 0,7 × 0,2 0,35 = 0,4

P M T C = P ( M ) × P ( T C | M ) P ( T C ) = 0,2 × 0,6 0,35 ≈ 0,343

P F T C = P ( F ) × P ( T C | F ) P ( T C ) = 0,1 × 0,9 0,35 ≈ 0,257

Passo 6

(d) Ele tá querendo que a gente explique porque os valores das probabilidades da recomendação ter sido excelente, moderada ou fraca mudam se o trabalhador foi ou não contratado!

Se a gente tiver analisando o cenário onde o trabalhador foi contratado, a probabilidade da recomendação ter sido excelente é mais alta, a da recomendação ter sido moderada é mais baixa e a da recomendação ter sido fraca é menor ainda. E isso acontece porque as chances do trabalhador ter tido uma recomendação excelente são bem grandes, já que ele conseguiu o emprego, e essas chances diminuem para recomendações de pior qualidade.

E da mesma forma, se a gente analisar o cenário onde o trabalhador não foi contratado, aumentam-se as chances de ele ter tido uma recomendação de pior qualidade e diminuem-se as chances dele ter tido uma recomendação excelente.

Resposta

a

P T = 0,65

b

P E T = 0,862

P M T = 0,123

P F T = 0,015

c

P E T C = 0,4

P M T C = 0,343  

P F T C = 0,257

d

Se a gente tiver analisando o cenário onde o trabalhador foi contratado, a probabilidade de a recomendação ter sido excelente é mais alta, a da recomendação ter sido moderada é mais baixa e a da recomendação ter sido fraca é menor ainda. E isso acontece porque as chances do trabalhador ter tido uma recomendação excelente são bem grandes, já que ele conseguiu o emprego, e essas chances diminuem para recomendações de pior qualidade.

E da mesma forma, se a gente analisar o cenário onde o trabalhador não foi contratado, aumentam-se as chances de ele ter tido uma recomendação de pior qualidade e diminuem-se as chances dele ter tido uma recomendação excelente.

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