Probabilidade Condicional
Um trabalhador pediu a seu supervisor uma carta de recomendação para um novo emprego. Ele estima que há 80% de chances de que obtenha o trabalho se receber uma excelente (E) recomendação, 40% de chance se a recomendação for moderadamente boa (M), e 10% de chance se a recomendação for fraca (F). Pelo que o trabalhador conhece da avaliação do supervisor, ele ainda estima que as probabilidades da recomendação ser excelente(E), moderada(M) e fraca(F) são 70%, 20%, e 10%, respectivamente. Calcule a probabilidade:
(a) de que ele vá receber a oferta de trabalho (T);
(b) da recomendação ter sido Excelente, Moderada e Fraca dado que ele tenha recebido a oferta de trabalho;
(c) da recomendação ter sido Excelente, Moderada e Fraca dado que ele não tenha recebido a oferta de trabalho;
(d) As probabilidades originais de , , e , respectivamente estimadas para recomendação ser excelente(E), moderada(M) e fraca(F) foram alteradas nos itens (b) e (c) ora para mais, ora para menos em função do resultado que elas produziram. Como você explica a lógica destas modificações?
Passo 1
(a) Vamos começar entendendo quem são essas probabilidades que o enunciado dá pra gente.
Repara que ele diz que existe 80% de chance do trabalhador obter o trabalho se receber uma recomendação excelente, ou seja, a probabilidade do trabalhador ser contratado dado que a recomendação foi excelente é de 80%! E isso que é o que mesmo? Probabilidade condicional!
Então vamos usar a notação como a probabilidade do trabalhador ser contratado, e escrever todas as nossas condicionais:
E o enunciado também dá pra gente a probabilidade dessa recomendação ser excelente, moderada ou fraca!
Passo 2
a) Concorda comigo que se a gente quisesse saber a probabilidade da recomendação ser excelente e do trabalhador ser contratado a gente teria que fazer ?
Como a letra a) pede pra gente a probabilidade dele ser contratado sem restrições quanto a qualidade da recomendação, temos que fazer essa multiplicação pra todas as recomendações possíveis, não só a excelente! E depois somar todas elas. Assim ó:
Substituindo os valores dessas probabilidades todas:
Passo 3
(b) Agora ele ta perguntando pra gente as probabilidades da recomendação ter sido excelente/moderada/fraca dado que ele foi contratado! Ou seja, essas condicionais aqui:
Vamos raciocinar um pouco sobre essas interseções na nossa fórmula. Vamos pegar, por exemplo, . A gente quer a probabilidade da recomendação ser excelente e do trabalhador ser contratado, ao mesmo tempo! E a gente calculou essa probabilidade no passo anterior, certo? É aquele !
Vamos substituir isso aí na fórmula da condicional então, usando o mesmo raciocínio pros casos de recomendação moderada e fraca:
Passo 4
(c) Não conseguir a vaga é a mesma coisa que . Então, pelo Teorema de Bayes, podemos encontrar as probabilidades que o problema pede:
Onde
E pode ser achado pelo resultado da letra (a):
Passo 5
Show de bola, agora é só substituir e partir pro abraço!
Passo 6
(d) Ele tá querendo que a gente explique porque os valores das probabilidades da recomendação ter sido excelente, moderada ou fraca mudam se o trabalhador foi ou não contratado!
Se a gente tiver analisando o cenário onde o trabalhador foi contratado, a probabilidade da recomendação ter sido excelente é mais alta, a da recomendação ter sido moderada é mais baixa e a da recomendação ter sido fraca é menor ainda. E isso acontece porque as chances do trabalhador ter tido uma recomendação excelente são bem grandes, já que ele conseguiu o emprego, e essas chances diminuem para recomendações de pior qualidade.
E da mesma forma, se a gente analisar o cenário onde o trabalhador não foi contratado, aumentam-se as chances de ele ter tido uma recomendação de pior qualidade e diminuem-se as chances dele ter tido uma recomendação excelente.
Resposta
Se a gente tiver analisando o cenário onde o trabalhador foi contratado, a probabilidade de a recomendação ter sido excelente é mais alta, a da recomendação ter sido moderada é mais baixa e a da recomendação ter sido fraca é menor ainda. E isso acontece porque as chances do trabalhador ter tido uma recomendação excelente são bem grandes, já que ele conseguiu o emprego, e essas chances diminuem para recomendações de pior qualidade.
E da mesma forma, se a gente analisar o cenário onde o trabalhador não foi contratado, aumentam-se as chances de ele ter tido uma recomendação de pior qualidade e diminuem-se as chances dele ter tido uma recomendação excelente.