Um engenheiro apresentou orçamentos separados para a execução de uma obra num prédio em construção. O primeiro orçamento foi feito para a parte elétrica do prédio e o segundo orçamento foi feito levando em consideração a parte de encanamento do edifício. O engenheiro acha que a probabilidade de ganhar a concorrência da parte elétrica é de . Caso ele ganhe a parte elétrica, a chance de ganhar a parte de encanamento é de ; caso contrário, essa probabilidade é de . O engenheiro gostaria de saber qual a probabilidade:
(a) de ganhar o contrato referente à parte de encanamento;
(b) de ganhar os dois contratos;
(c) de ganhar apenas um contrato;
(d) condicional de ganhar o contrato da parte elétrica, dado que já ganhou o da parte de encanamento.
Passo 1
Primeiro vamos organizar as informações dadas. Para isso, vamos nomear dois eventos:
Sabemos que:
E também é dito que a probabilidade de ganhar a parte de encanamento, dado que ele ganhou a elétrica é de , então:
E caso contrário, ou seja, a probabilidade de ganhar a parte de encanamento, dado que ele perdeu a elétrica é de , então:
a)
Queremos e temos todas as condicionais ligadas a , então usamos o teorema da probabilidade total:
Como é complementar a e . Substituindo os valores:
Passo 2
b)
Agora queremos probabilidade de ganhar os dois contratos, ou seja, estamos numa interseção de eventos:
Que ocorre quando e acontecem ao mesmo tempo, então basta multiplicarmos esses caras:
Passo 3
c)
Ganhar apenas um contrato pode ser ganhar só a parte elétrica e perder a de encanamento...
Ou ganhar a de encanamento e perder a elétrica:
Então queremos a união (OU) dessas duas probabilidades:
Substituindo as interseções por multiplicações e a união por uma soma...
Como é complementar a e . Substituindo todos os valores:
Passo 4
d)
Agora queremos:
Temos que “voltar” no tempo para saber essa, concorda comigo? Então usamos o Teorema de Bayes! Aplicando a fórmula:
Resposta
a)
b)
c)
d)