Exercícios Resolvidos de Teorema de Bayes

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Enunciado

Em uma determinada fábrica constatou-se em registros passados, que uma determinada máquina para a produção de parafusos funciona corretamente 95 % do tempo. Se a máquina não está funcionando corretamente, 2 % dos parafusos produzidos são defeituosos e quando a máquina estiver trabalhando corretamente, apenas 0,2 % dos parafusos são defeituosos. Pede-se:

  1. Se um parafuso é escolhido aleatoriamente, qual é a probabilidade de que ele seja defeituoso?
  2. Uma vez que o parafuso seja defeituoso, qual é a probabilidade de que este pertence a máquina que esteja funcionando corretamente.

Passo 1

Bom, temos duas opções pra máquina... ou ela tá funcionando perfeitamente ( E ) ou ela não tá funcionando perfeitamente E c .

Conhecemos essas probabilidades..

P E = 95 %

P E c = 5 %

O exercício também dá as probabilidades condicionais dos parafusos feitos pelas máquinas serem defeituosos, sendo a máquina boa ou não.

P D E = 0,2 %

P D E c = 2 %

Onde D → parafuso ser defeituoso.

Agora que a gente já anotou todos os dados estamos prontos pra qualquer parada.

Passo 2

(a)

Aqui a gente tem que usar probabilidade total pra calcular a probabilidade total (nada mais lógico) do parafuso ser defeituoso. Pra isso a gente tem que considerar tanto a chance dele ser feito em uma máquina boa quanto na máquina ruim.

P D = P D E × P E + P D E c × P E c

P D = 0,2 % × 9 5 % + 2 % × 5 %

= 0,0029

P D = 0,29 %

Passo 3

(b)

Já aqui, a gente já sabe que o parafuso é defeituoso e tem que calcular a probabilidade de ele ter sido produzido por uma máquina com funcionamento perfeito.

Isso tem cara de que? Bayes, concorda? É isso aí... vamos usar teorema de Bayes pra calcular P E D .

P E D = P D E × P E P D

P ( D ) a gente já calculou no item anterior, então é só substituir tudo.

P E D = 0,2 % × 95 % 0,0029

≅ 0,6552

Como sempre, probabilidade total seguido de teorema de Bayes, clássicos!

Resposta

a = 0,29 %

b ≅ 65,52 %

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