Probabilidade Total e Teorema de Bayes
Sabe-se que dos minérios de uma pequena região encontram-se em localidades de difícil acesso. Nas localidades mais acessíveis (que não são de difícil acesso), apenas dos minérios tem valor comercial. Nas localidades de difícil acesso, pesquisadores estimam que dos minérios tenham valor de comércio.
- Qual é o percentual de minérios com algum valor comercial em toda a região, considerando como correta a estimativa dos pesquisadores?
- Qual é a probabilidade de que um minério sorteado ao acaso tenha vindo de uma localidade de difícil acesso dado que é um minério com valor comercial?
- Desconsiderando a estimativa dos pesquisadores, qual deve ser a real proporção de minérios com valor comercial nas localidades de difícil acesso para que a dificuldade de acesso e o valor comercial do minério sejam independentes do ponto de vista probabilístico.
Passo 1
(a)
O exercício fala da presença de minérios em regiões e seu valor comercial, diz a proporção de minérios em cada tipo de região (fácil ou difícil acesso) e diz qual a porcentagem do minério presente em cada uma das regiões que possui valor comercial.
Bom, vou chamar de
Pela lógica:
O exercício diz a proporção de minério presente em regiões de difícil acesso:
Com isso:
Passo 2
Outro dado que o exercício dá são as probabilidades condicionais do minério ter valor comercial dado que ele está em região de difícil acesso , ou dado que ele está em região de fácil acesso .
As probabilidades são:
Passo 3
Nesse item temos que calcular o percentual de minério com valor comercial em toda região, independente de ser de fácil ou difícil acesso.
Isso quer dizer que a gente tem que calcular a probabilidade total do minério ter valor comercial, considerando os que estão em zona de fácil acesso e os que estão em zona de difícil acesso.
Lembra da fórmula:
Passo 4
(b)
Agora a gente tem que dar a probabilidade do minério ter vindo de uma região de difícil acesso dado que ele possui valor comercial. A gente já sabe que ele tem valor comercial, a gente quer saber agora de onde ele veio. Adivinha? Bayes!
A gente precisa calcular:
Pela fórmula:
Já temos todos os valores, só substituir:
Passo 5
(c)
Pesquisadores estimaram que nas localidades de difícil acesso a probabilidade de que o minério tenha valor comercial era de . Agora temos que ter a proporção real de minérios com valor comercial nas regiões de difícil acesso para que a dificuldade do acesso não altere o valor comercial do minério.
Pra isso , concorda? Probabilidade condicional do minério ter valor comercial dado que ele é de difícil acesso tem que ser igual a prob. condicional do minério ter valor comercial dado que ele é de fácil acesso. Assim, a dificuldade do acesso não vai alterar nada.
E a gente conhece, que é .